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    5．如图甲是半径为R的半圆柱形容器，在其直径的两端沿母线开有狭缝ad和bc，整个容器处于真空环境中．有大量的质量为m、电量为q和质量为m、电量为2q的带正电粒子，它们都以较大的恒定速度v0从狭缝ad源源不断地沿平行直径ab方向射入容器，图乙、丙是容器的横截面俯视图．若粒子与容器内壁的曲面相碰，粒子既没有电量损失，也没有动能损失；如若与直径所在的平面内壁相碰，粒子便立即被容器吸收且电荷被导走．从某时刻起，容器中出现平行于ad向下、磁感应强度从零开始缓慢增加的匀强磁场，随着磁场的出现和增强，出现了下述现象：一会儿没有粒子从bc缝穿出，一会儿又有粒子从bc缝穿出，而且这两种现象不断地交替出现，由于磁感应强度缓慢增加，可认为各粒子在容器中运动的过程中磁场没有发生变化，不计重力及粒子间的相互作用，试通过计算分析：
    （1）出现磁场后，哪种粒子先从bc缝穿出？
    （2）出现磁场后，第二次有粒子从bc缝穿出时磁场的磁感应强度多大？
    （3）若出现磁场后某一时刻，原真空环境被破坏，磁场也不再变化，磁感应强度恒定为B0，粒子在容器中还将受到阻力Ff=kQ，式中k为常数，Q为粒子的电荷量，两粒子运动轨迹大致如图丙所示．试求两种粒子在该环境下运行的路程之比．

    分析 （1）粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿第二定律求出粒子轨道半径；出现磁场后，作出第一次从B缝穿出的离子在容器中运动的轨迹图，根据运动轨迹与粒子轨道半径分析答题．
    （2）出现磁场后，作出第二次运动的轨迹图，结合几何关系和半径公式求出磁感应强度的大小．
    （3）对粒子应用动能定理求出粒子的路程，然后求出路程之比．

    解答 解：（1）出现磁场后，第一次从bc缝穿出的离子在容器中运动情况如图所示，

    即粒子与容器内壁碰撞一次就从b缝穿出，离子在磁场中运动的半径恰为R，
    粒子在磁场中做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
    由牛顿第二定律得：Qv0B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，解得：r=$\frac{m{v}_{0}}{QB}$，
    磁感应强度B从零开始增大，粒子做圆周运动的轨道半径r逐渐减小，
    当粒子轨道半径减小到R时，粒子从bc缝穿出，在m、v0、B相等的情况下，
    电荷量Q越大的粒子轨道半径先减小到R，先从bc缝穿出，因此带电量为2q的粒子先从bc缝穿出．
    （2）出现磁场后，第二次从bc缝穿出的离子在容器中运动情况如图所示：

    即离子与容器内壁碰撞两次就从b缝穿出，设离子在磁场中运动的半径为r，在△aO2O中，
    有：θ=$\frac{π}{6}$，r=Rtanθ=Rtan$\frac{π}{6}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$R，
    由牛顿第二定律得：2qv0B′=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{r}$，
    解得：B′=$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qR}$；
    （3）洛伦兹力对粒子不做功，对粒子，
    由动能定理得：-kQs=0-$\frac{1}{2}$mv02，解得：s=$\frac{m{v}_{0}^{2}}{2kQ}$，
    粒子的路程之比：$\frac{{s}_{q}}{{s}_{2q}}$=$\frac{2q}{q}$=$\frac{2}{1}$；
    答：（1）出现磁场后，带电量为2q的粒子先从bc缝穿出；
    （2）出现磁场后，第二次有粒子从bc缝穿出时磁场的磁感应强度为$\frac{\sqrt{3}m{v}_{0}}{2qR}$；
    （3）两种粒子在该环境下运行的路程之比为2：1．

    点评 本题考查了带电粒子在磁场中的运动，关键作出轨迹图，通过半径公式、动能定理，结合几何关系进行求解，有一定的难度．

    练习册系列答案
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