Question

15．如图所示，一光滑矩形框架abcd的ab边的长度是ad边长度的2倍且在两边各套有一小球A、B．现让矩形框架abcd绕着通过其对角线ac的竖直轴以某一角速度匀速转动，当两小球分别在ab、ad边上稳定时，小球A、B（　　）

• A． 做圆周运动的向心加速度之比为4：1
• B． 做圆周运动的向心加速度之比为1：1
• C． 与a点的高度差之比为8：1
• D． 与a点的高度差之比为16：1

Answer 1

分析 小球靠重力和支持力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得出向心加速度的表达式，结合几何关系求出向心加速度之比．抓住角速度相等，得出转动的半径之比，结合几何关系求出与a点的高度差之比．

解答 解：A、小球均靠重力和支持力的合力提供向心力，对A球，根据牛顿第二定律得，mgtanθ=ma_A，解得向心加速度a_A=gtanθ，对B球，根据牛顿第二定律得，mgtanα=ma_B，解得向心加速度a_B=gtanα，根据几何关系知，tanθ=2，tanα=$\frac{1}{2}$，则a_A：a_B=4：1，故A正确，B错误．
C、根据a=rω²知，两球的角速度相等，向心加速度之比为4：1，则转动的半径之比为4：1，A球离a点的高度${h}_{A}=\frac{{r}_{A}}{tanα}$，B球离A点的高度${h}_{B}=\frac{{r}_{B}}{tanθ}$，因为$\frac{1}{tanα}：\frac{1}{tanθ}=4：1$，则h_A：h_B=16：1，故C错误，D正确．
故选：AD．

点评 解决本题的关键知道小球做圆周运动向心力的来源，结合牛顿第二定律、向心加速度的表达式以及几何关系综合求解，难度中等．