Question

14．如图为我国自主研制发射的“高分一号”与北斗导航系统两颗卫星在空中同一平面内运动的示意图．“北斗”系统中两颗卫星“G₁”和“G₂”以及“高分一号”均可认为绕地心O做匀速圆周运动．卫星“G₁”和“G₂”的轨道半径为r，某时刻两颗卫星分别位于轨道上的A、B两位置，“高分一号”在C位置．若卫星均顺时针运行，地球表面处的重力加速度为g，地球半径为R，不计卫星间的相互作用力．则以下说法正确的是（　　）

• A． A 的周期大于 C 的周期
• B． B的角速度大于C的角速度
• C． 卫星“G₁”由位置A运动到位置B所需的时间为$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$
• D． A、B 的运行速度都小于第一宇宙速度，C的运行速度大于第一宇宙速度

Answer 1

分析 根据开普勒第三定律分析卫星的周期关系，从而判断角速度的关系．由万有引力提供向心力，以及黄金代换式GM=gR²，列式表示出卫星卫星“G₁”的角速度，从而求得卫星“G₁”由位置A运动到位置B所需的时间．根据轨道半径的关系，分析卫星的速度与第一宇宙速度关系．

解答 解：A、根据开普勒第三定律$\frac{{r}^{3}}{{T}^{2}}$=k知，卫星的轨道半径越大，周期越大，所以A 的周期大于 C 的周期，故A正确．
B、同理可知，B的周期大于C的周期，由T=$\frac{2π}{ω}$知，B的角速度小于C的角速度．故B错误．
C、对于卫星“G₁”，根据万有引力提供向心力得：G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=mω²r，又GM=gR²．得：ω=$\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{{r}^{3}}}$，所以卫星“G₁”由位置A运动到位置B所需的时间 t=$\frac{\frac{π}{3}}{ω}$=$\frac{πr}{3R}$$\sqrt{\frac{r}{g}}$．故C正确．
D、第一宇宙速度是卫星绕地球圆周运动的最大运行速度，所以三颗卫星的运行速度都小于第一宇宙速度，故D错误．
故选：AC

点评 解决本题的关键掌握开普勒第三定律和卫星问题的基本思路：万有引力等于向心力，万有引力等于重力．