Question

16．如图所示，传送带与水平地面的倾角θ=37°，A、B两端相距5.0m，质量为M=10kg的物体以v₀=6.0m/s的速度沿AB方向从A端滑上传送带，物体与传送带间的动摩擦因数处处相同，均为μ=0.5，传送带顺时针匀速运转．（g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8）求：
（1）当运转的速度v=2.0m/s时，物块在传送带上上升的最大高度；
（2）运转的速度至少为多大时，物体从A点到达B点时间最短，最短时间又是多少？

Answer 1

分析 （1）开始时物体的初速度大于传送带的速度，物体所受摩擦力沿斜面向下，根据牛顿第二定律求出物体的加速度，当物体达到与传送带速度相等后可能匀速运动也可能匀减速运动到B，根据受力情况进行判断，然后应用牛顿第二定律与运动学公式求出上升的最大高度；
（2）物体一直受向上的滑动摩擦力从A到B所需的时间最短，由位移时间公式求出时间．

解答 解：（1）重力沿斜面方向的分力：Mgsin37°=10×100×0.6=60N
摩擦力大小：f=μMgcosθ=0.5×10×10×0.8=40N
开始时物体相对传送带向上滑动，物体所受摩擦力沿斜面向下，
根据牛顿第二定律得：Mgsinθ+μMgcosθ=Ma，
解得：a=10m/s²，
达到与传送带速度相等需要的时间：t=$\frac{{v}_{0}-v}{a}$=$\frac{6-2}{10}$=0.4s，
这段时间内物体的位移为：x=$\frac{{v}_{0}+v}{2}$t=$\frac{6+2}{2}$×0.4=1.6m，
物块所受沿斜面向上的摩擦力小于重力的分力，
由牛顿第二定律得：Mgsin37°-f=ma′，解得：a′=2m/s²，
物体继续向上做匀减速直线运动，当速度为零时，
位移：x′=$\frac{{v}^{2}}{2a′}$=$\frac{{2}^{2}}{2×2}$=1m，之后物体沿传送带向下加速运动，
物体沿传送带上升的最大位移：S=x+x′=1.6+1=2.6m，
物体上升的最大高度：h=Ssinθ=2.6sin37°=1.56m；
（2）物体受到的摩擦力始终沿斜面向上时物体到达B端的时间最短，
摩擦力始终沿斜面向上，物体的加速度：a′=2m/s²，
由匀变速直线运动的位移公式得：L=v₀t+-$\frac{1}{2}$a′t²，
即：5=6t-$\frac{1}{2}$×2×t²，
解得：t=1s，t=5s，
当时间为$\frac{6}{2}$=3s时物体速度变为零，然后向下滑动，t=5s不合题意，舍去；
则物体最短运动时间为1s；
物体到达B时的速度：v=v₀+a′t=6-2×1=4m/s，
要使物体受到的摩擦力始终沿斜面向上，物体的速度应始终大于传送带的速度，
传送带速度至少为6m/s；
答：（1）当运转的速度v=2.0m/s时，物块在传送带上上升的最大高度为1.56m；
（2）运转的速度至少为6m/s时，物体从A点到达B点时间最短，最短时间是1s．

点评 传送带问题一直是学生头大的问题，关键是明确物体所受传送带摩擦力方向的判断，摩擦力的方向与物体相对传送带运动方向相反，而牛顿第二定律和运动学公式的应用选取的参照物是地面．