Question

13．如图所示，是一传送装置，其中AB段粗糙，AB段长为L=1m，动摩擦因数μ=0.5；BC、DEN段均可视为光滑，DEN是半径为r=0.5m的半圆形轨道，其直径DN沿竖直方向，C位于DN竖直线上，CD间的距离恰能让小球自由通过．其中N点又与足够长的水平传送带的右端平滑对接，传送带以6m/s的速率沿顺时针方向匀速转动，小球与传送带之间的动摩擦因数也为0.5．左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现用一可视为质点的小球压缩弹簧至A点后由静止释放（小球和弹簧不粘连），小球刚好能沿圆弧DEN轨道滑下，而始终不脱离轨道．已知小球质量m=0.2kg，g 取10m/s²．
（1）求小球到达D点时速度的大小及弹簧压缩至A点时所具有的弹性势能；
（2）小球第一次滑上传送带后的减速过程中，在传送带上留下多长的痕迹？
（3）如果希望小球能沿着半圆形轨道上下不断地来回运动，且始终不脱离轨道，则传送带的速度应满足什么要求？

Answer 1

分析 （1）小球恰好通过最高点，则根据重力充当向心力可求得D点的速度，再根据能量守恒规律即可明确弹性势能的大小；
（2）根据机械能守恒定律可求得N的速度，再根据牛顿第二定律可求得加速度，再根据运动学公式即可求得在传送带上的痕迹；
（3）根据机械能守恒定律可求得初速度大小，从而明确传送带速度的范围．

解答 解：（1）“小球刚好能沿DEN轨道滑下”，在圆周最高点D点必有：
mg=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{r}$
代入数据得：v_D=$\sqrt{5}$m/s，
从A点到D点，由能量守恒得：E_p=μmgL+$\frac{1}{2}$mv_D²
联立以上两式并代入数据得：E_p=1.5J
（2）从D到N，根据机械能守恒可得：
$\frac{1}{2}m{v_D}^2+mg•2r=\frac{1}{2}m{v_N}^2$
在传送带上物块，由牛顿第二定律有：
μmg=ma
代入数据解得：a=5m/s²；
物块向左减速        
由速度公式可得：v_N=at
解得；t=$\frac{{v}_{N}}{a}$=$\frac{5}{5}$=1S
物块向左运动的位移，由位移公式${S_1}=\frac{1}{2}a{t^2}$可得：
解得：s₁=2.5m
传送带向右运动的位移为S₂=vt
解得：S₂=6m
留下的痕迹为：△S=S₁+S₂=2.5+6=8.5m；
（3）设物块在传送带上返回到右端的速度为v₀，若物块恰能冲到EF轨道圆心的等高处，则有：$\frac{1}{2}mv_0^2=mgr$
代入数据解得：v₀=$\sqrt{10}$m/s；
则传送带的速度必须满足$0＜{v_带}≤\sqrt{10}m/s$
答：（1）小球到达D点时速度的大小及弹簧压缩至A点时所具有的弹性势能为1.5J；
（2）小球第一次滑上传送带后的减速过程中，在传送带上留下8.5m的痕迹
（3）传送带的速度应满足$0＜{v_带}≤\sqrt{10}m/s$

点评 本题考查了求速度、弹性势能、痕迹长度、传送带速度问题，分析清楚物体运动过程是正确解题的前提与关键，应用牛顿第二定律、运动学公式、能量守恒定律与机械能守恒定律即可正确解题．