Question

7．如图所示，半径为R的光滑圆周轨道AB固定在竖直平面内，O为圆心，OA与水平方向的夹角为 30°，OB 在竖直方向．一个可视为质点的小球从 O 点正上方某处以某一水平初速度向右抛出，小球恰好能无碰撞地从 A 点进入圆轨道内侧，此后沿圆轨道运动到达 B 点．已知重力加速度为 g，求：
（1）小球初速度的大小；
（2）小球运动到 B 点时对圆轨道压力的大小．

Answer 1

分析 （1）小球在空中做平抛运动，根据运动的合成和分解规律，分别分析水平和竖直方向上的规律，再根据小球无碰撞进入圆轨道可明确小球的速度方向，联立即可求得小球的初速度；
（2）小球在空中运动过程中机械能守恒，根据机械能守恒定律可明确小球落到B点时的速度，再根据向心力公式即可分析支持力大小，再由牛顿第三定律可求得压力大小．

解答 解：（1）设小球的初速度为v₀，飞行时间为t，则在水平方向上有：
Rcos30°=v₀t
在竖直方向上有：y=$\frac{1}{2}$gt²
v_y=gt
由于小球运动到A点时与轨道无碰撞，故：

tan30°=$\frac{{v}_{0}}{{v}_{Y}}$
联立以上各式解得：
v₀=$\sqrt{\frac{gR}{2}}$
y=$\frac{3R}{4}$
（2）抛出点距轨道最低点的高度
h=R+Rsin30°+y
设小球运动到最低点B的速度为v，对圆轨道的压力为F，根据机械能守恒有：
mgh+$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv²
根据牛顿运动定律有：
F-mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：F=6mg
由牛顿第三定律可知，压力大小为6mg．
答：（1）小球初速度的大小为$\sqrt{\frac{gR}{2}}$；（2）小球运动到 B 点时对圆轨道压力的大小为6mg．

点评 本题考查向心力以及机械能守恒定律的应用，要注意明确物理过程，注意隐含条件，明确小球无碰撞地进入圆轨道即告诉了平抛运动的末速度方向；同时正确利用机械能守恒定律和向心力公式进行分析求解即可．