Question

8．在牛顿运动定律及开普勒三定律的基础上，将行星绕太阳的运动轨迹视为圆周，试以此模型推导万有引力定律．

Answer 1

分析 行星绕太阳能做圆周运动，是由引力提供向心力来实现的．再由开普勒第三定律可推导出万有引力定律．

解答 解：设中心天体的质量为M，环绕天体的质量为m，环绕天体的公转周期为T，轨道半径为r；由于中心天体对环绕天体的引力充当向心力，则：
M对m：$F=m\frac{{4{π^2}r}}{T^2}$①
据开普勒第三定律：$\frac{r^3}{T^2}=K$②
由①②式得：$F=\frac{{4{π^2}Km}}{r^2}$③
关系式：$F∝\frac{M}{r^2}$   ④
m对M（据牛三）：${F^/}∝\frac{m}{r^2}$⑤
综合④⑤式：$F∝\frac{Mm}{r^2}$⑥
写成等式：$F=G\frac{Mm}{r^2}$
即：太阳与行星间的引力大小与太阳的质量和行星的质量的乘积成正比，与两者距离的二次方成反比．
答：推导过程如上所示．

点评 解决本题的关键能够建立正确的模型，运用牛顿第二定律、第三定律、开普勒第三定律进行推导．