Question

（2009?东城区模拟）如图所示为宇宙中一个恒星系的示意图，其中A为该星系中的一颗行星，它绕中央恒星O运行的轨道近似为圆．天文学家观测得到A行星运行的轨道半径为r，周期为T．已知万有引力常量G．
（1）求A行星做匀速圆周运动的向心加速度大小；
（2）求中央恒星O的质量；
（3）若中央恒星是半径为R的均匀球体，要使在此恒星表面被平抛出的物体不再落回恒星表面，通过计算说明抛出物体的速度需要满足什么条件．

Answer 1

分析：根据圆周运动的向心加速度的表达式求出向心加速度大小；
研究行星绕恒星做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，列出等式求出中心体的质量．
平抛出的物体不再落回恒星表面，即物体会绕着恒星做匀速圆周运动．其中物体在靠近恒星表面，绕恒星做半径为R的匀速圆周运动发射速度最小．

解答：解：（1）根据圆周运动的向心加速度的表达式得出：
A行星绕恒星做匀速圆周运动的加速度大小为：a=ω²r=

4π2r

T2

（2）A行星绕恒星O做匀速圆周运动，设A行星和恒星的质量分别为m和M，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G

Mm

r2

=m

4π2

T2

r
解得：M=

4π2r3

GT2

．
（3）当水平抛出物体的速度大小等于或大于物体在靠近恒星表面，绕恒星做匀速圆周运动速度大小时，物体将不再落回恒星表面．设物体在靠近恒星表面，绕恒星做半径为R的匀速圆周运动的速度大小为υ，也就是我们所说的第一宇宙速度，根据万有引力定律和牛顿第二定律有：G

Mm

R2

=m

υ2

R

，v=

GM R

代入M解得：v=

4π2r3 RT2

=

2πr

T

r R

即在恒星表面水平抛出物体，物体不再落回恒星表面，抛出物体的速度v'需满足的条件是：v′≥

2πr

T

r R

答：（1）A行星做匀速圆周运动的向心加速度大小为

4π2r

T2

；
（2）中央恒星O的质量是

4π2r3

GT2

；
（3）抛出物体的速度需要满足条件是：v′≥

2πr

T

r R

．

点评：要清楚向心加速度大小的表达式．
平抛出的物体不再落回恒星表面，即物体会绕着恒星做匀速圆周运动．其中物体在靠近恒星表面，绕恒星做半径为R的匀速圆周运动发射速度最小，也就是我们所说的第一宇宙速度．