Question

（2009?东城区一模）如图所示，位于竖直平面内的1/4圆弧光滑轨道，半径为R，轨道的最低点B的切线沿水平方向，轨道上端A距水平地面高度为H．质量为m的小球（可视为质点）从轨道最上端A点由静止释放，经轨道最下端B点水平飞出，最后落在水平地面上的C点处，若空气阻力可忽略不计，重力加速度为g．求：
（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力多大；?
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为多少；?
（3）比值R/H为多少时，小球落地点C与B点水平距离x最远；该水平距离最大值是多少．

Answer 1

分析：（1）小球由A→B过程中，只有重力做功，根据机械能守恒定律及向心力公式列式求解；
（2）小球从B点抛出后做平抛运动，根据平抛运动的位移公式求解；
（3）利用数学知识分析水平位移的表达式即可求解．

解答：解：
（1）小球从A点运动到B点的过程中，机械能守恒，设在B点的速度为v_B，根据机械能守恒定律有  mgR=

1

2

mv_B²
设小球在B点时所受轨道的支持力为F_N，对小球在B点根据牛顿第二定律有
F_N-mg=m

v 2 B

R

联立可解得F_N=3mg
（2）小球离开B点后做平抛运动．
沿竖直方向有  H-R=

1

2

gt2
沿水平方向有  x=v_Bt 
联立解得  x=2

R(H-R)

（3）由x=2

R(H-R)

可导出x=

H2-(2R-H)2

当

R

H

=

1

2

时，x有最大值．
x的最大值x_m=H 
答：（1）小球运动到B点时，轨道对它的支持力为3mg；?
（2）小球落地点C与B点的水平距离x为2

R(H-R)

；?
（3）比值

R

H

等于

1

2

时，小球落地点C与B点水平距离x最远；该水平距离最大值是H．

点评：本题关键对两个的运动过程分析清楚，然后选择机械能守恒定律和平抛运动规律列式求解．