Question

9．如图所示，一绝缘细圆环半径为R，其环面固定在竖直平面上，环面所在的空间存在水平正交的匀强电场和匀强磁场，方向如图所示，电场强度大小为E，环上穿有一质量为m的带负电小球，可沿圆环做无摩擦运动．若小球由A点（图中AO为圆环的水平半径）静止释放，小球运动到最低点的另一侧C点时速度为零，已知OC连线与竖直方向的夹角为30°．试求：
（1）小球电荷量q；
（2）小球运动过程中的最大动能E_A；
（3）若小球由D点静止滑下到达A点时，圆环对小球的弹力大小恰好为（3+$\sqrt{3}$）mg，则磁感应强度B的大小为多少？

Answer 1

分析 （1）对从A到C过程根据动能定理列式求解即可；
（2）将重力和电场力合成，当作等效重力，由于洛伦兹力不做功，故在等效重力场的最低点动能最大，即在AC圆弧的中点动能最大，根据动能定理列式求解即可；
（3）先根据动能定理列式求解A点的速度，支持力和洛伦兹力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律列式求解磁感应强度B的大小．

解答 解：（1）小球由A点运动到C点，由动能定理得：
mgRcos30°-qE（R+Rsin30°）=0
解得：q=$\frac{\sqrt{3}mg}{3E}$  ①
（2）设小球运动到与圆心O的连线与竖直方向的夹角为θ时，小球的动能为最大，此时有：
mgsinθ=qEcosθ  ②
小球由A点运动到此点，由动能定理，有：
mgRcosθ+qE（R-Rsinθ）=E_k  ③
联立解得：
E_k=$\frac{2\sqrt{3}mgR}{3}$
（3）设小球从D点运动到A点时的速度大小为v，由动能定理，有：
mgR+qER=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$
在A点，对小球，由牛顿第二定律，有：
F-qE-qvB=m$\frac{{v}^{2}}{R}$
联立解得：
B=$\frac{3E}{\sqrt{2Rg（3+\sqrt{3}）}}$
答：（1）小球电荷量q为$\frac{\sqrt{3}mg}{3E}$；
（2）小球运动过程中的最大动能E_A为$\frac{2\sqrt{3}mgR}{3}$；
（3）磁感应强度B的大小为$\frac{3E}{\sqrt{2Rg（3+\sqrt{3}）}}$．

点评 本题关键是明确球的受力情况、运动情况和能量转化情况，根据牛顿第二定律、动能定理并结合等效思想解题，不难．