Question

13．质量为的m=1Kg、长度足够长的木板放在光滑的水平面上，右端到竖直档板的距离L=0.08m．现有一质量也为m的滑块以v₀=3m/s的水平速度从板的左端滑上木板，滑块与木板间的摩擦系数为μ=0.1，滑块与档板始终未碰撞．木板与档板碰后速度大小不变，方向相反．（碰撞时间极短，忽略不计）则木板碰撞3次后木板与滑块已达到共同速度；木板与档板共碰4次，滑块在木板上发生相对的时间是3s，相对滑动距离是4.5m．

Answer 1

分析 当长木板反弹后，滑块继续匀减速前进，长木板向左匀减速运动，一直回到原来位置才静止；之后长木板再次向右加速运动，滑块还是匀减速运动；长木板运动具有重复性，由于木板长度可保证滑块在运动过程中不与墙接触，故直到两者速度相同，一起与墙壁碰撞后反弹；之后长木板向左减速，滑块向右减速，两者速度一起减为零．通过分析两者的速度关系，运用归纳法求解．

解答 解：滑块滑上木板后，在摩擦力作用下，木板从静止开始做匀加速运动．设木板加速度为a（因滑块与木板的质量都为m，所以两者的加速度大小相等），经历时间T后与墙第一次碰撞．碰撞时的速度为v₁，则对长木板，由牛顿第二定律得：μmg=ma    …①
由位移公式有：L=$\frac{1}{2}$aT₂…②
又有：v₁=at…③
联立①②③解得：a=1m/s²，T=0.4s，v₁=0.4m/s…④
在滑块与木板两者达到共同速度前，在每两次碰撞之间，木板受到滑块对它的摩擦力作用而做加速度恒定的匀减速直线运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间也为T．即为两次碰撞之间的时间间隔为2T
第一次碰撞时，滑块的速度为：v_物1=v₀-aT=3-1×0.4=2.6m/s
第二次碰撞时，滑块的速度为：v_物2=v₀-3aT=3-3×1×0.4=1.8m/s
第三次碰撞时，滑块的速度为：v_物3=v₀-5aT=3-5×1×0.4=1.0m/s
当木板完成第三次碰撞后运动到做最左端时，滑块的速度为：v_物4=v₀-6aT=3-6×1×0.4=0.6m/s
因木板与滑块的质量相同，选向右的方向为正，在此后向右运动至再次碰撞前的过程中，动量守恒，有：mv_物4=2mv_共，
代入数据解得：v_共=0.3m/s
此过程中，木板的位移为：x=$\frac{{v}_{共}^{2}}{2a}$=$\frac{0．{3}^{2}}{2×1}$=0.045m＜0.08m
所以木板碰撞 3次后木板与滑块已达到共同速度；
滑块与木板速度相同后继续向右运动，会再次与挡板相碰，木板会以0.3m/s的速度向左运动，直至与滑块同时速度为零，所以木板与档板共碰4次．
由以上分析可知，滑块一直向右做匀减速直线运动，直至与木板速度同时为零，所以滑块在木板上发生相对的时间为：
t=$\frac{{v}_{0}}{a}$=$\frac{3}{1}s$=3s
整个过程中，机械能的损失为摩擦生热，有能量的转化与守恒有：
$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$=μmgl
代入数据解得：l=4.5m
故答案为：3，4，3，4.5．

点评 解答该题的关键是一定要理清木板及滑块的运动过程，注意隐含条件的挖掘，即为“在滑块与木板两者达到共同速度前，在每两次碰撞之间，木板受到滑块对它的摩擦力作用而做加速度恒定的匀减速直线运动，因而木板与墙相碰后将返回至初态，所用时间也为T．”，这点是解题的一个关键．同时要注意数学归纳法的应用．
该题还可以求一下，木板最终会停在哪个位置．