Question

如图甲所示，光滑绝缘水平桌面上直立一个单匝正方形导线框ABCD，线框的边长为L=0.4m、总电阻为R=0.1Ω．在直角坐标系xoy中，有界匀强磁场区域的下边界与x轴重合，上边界满足曲线方程y=0.2sin

10π

3

x（m），场强大小B=0.2T．线框在沿x轴正方向的拉力F作用下，以速度v=10m/s水平向右做匀速直线运动，恰好拉出磁场．

（1）求线框中AD两端的最大电压；
（2）在图乙中画出运动过程中线框i-t图象，并估算磁场区域的面积；
（3）求线框在穿越整个磁场的过程中，拉力F所做的功．

Answer 1

分析：（1）线框中BC或AD切割磁感线时，产生的感应电动势为E=Byv，则知当AD边运动到磁场中心时，AD边上的电压最大．由E=BLv、I=

E

R

、U=IR结合求解AD两端的最大电压；
（2）由t=

x

v

求出BC边切割磁场的时间，确定出没有电流的时间，画出i-t图象．i-t图象与坐标轴所围“面积”大小等于电量，估算出电量Q，根据电量Q=

△Φ

R

=

BS

R

求出磁场区域的面积．
（3）在t₁和t₃时间内，通过线框的电流按正弦规律变化，求出电流的有效值．拉力做功等于线框中产生的电能，根据焦耳定律和功能关系求解拉力F所做的功．

解答：解：（1）当导线框运动到磁场中心线时，有两种情况，一是BC边，二是AD边，当AD边运动到磁场中心时，AD边上的电压最大．

  E_m=By_mv=0.2×0.2×10V=0.4V
  I_m=

Em

R

=

0.4

0.1

A=4A
则线框中AD两端的最大电压是U_m=Im?

3

4

R=4×

3

4

×0.1V=0.3V
（2）BC边切割磁场的时间为t1=

0.3

10

s=0.03s
此后，经t₂时间，线框中无感应电流
   t2=

0.4-0.3

10

s=0.01s
AD边切割时间t₃=t₁=0.03s
在整个切割过程中，i-t图象如图所示．

由图象可知，每个小方格表示电量q=0.0005C
在图象中，图象与t轴所围区域共有小方格153个，故t₁时间内通过线框某一截面的电量 Q=Nq=153×0.0005C=0.0765C
又Q=

△Φ

R

=

BS

R

得S=

QR

B

=0.038m²
（3）在t₁和t₃时间内，通过线框的电流按正弦规律变化
电流的有效值为 I=

2

2

Im=

2

2

×4A=2

2

A
由于线框做匀速运动，则根据功能关系得
   W=I²R（t₁+t₃）=0.048J
答：（1）求线框中AD两端的最大电压是0.3V；
（2）在图乙中画出运动过程中线框i-t图象如图所示，磁场区域的面积是0.038m²；
（3）线框在穿越整个磁场的过程中，拉力F所做的功是0.048J．

点评：本题是产生正弦式交变电流的一种方式，是法拉第电磁感应定律、欧姆定律、焦耳定律等等知识的综合应用，难点是运用近似方法估算出i-t图象的面积，求出电量，再根据经验公式Q=

△Φ

R

，求出面积S．