Question

3．如图所示，左边为是两个四分之一圆弧衔接而成的轨道EF，右边为两个斜面AB、CD和一段光滑圆弧组成的曲面台．设大小两个四分之一圆弧半径为2R和R，两斜面倾角均为θ=37⁰，AB=CD=2R，且A、D等高，D端固定一小挡板，假设碰撞不损失机械能．一质量为m的滑块与斜面动摩擦因数均为0.25，将滑块从地面上光滑的小平台上以一定的初速度经E点进入圆弧轨道，从最高点F飞出后进入右边的斜面上．重力加速度为g．
（1）设滑块恰能无挤压地从F点飞出，同时为了使滑块恰好沿AB斜面进入右边轨道，应调节右边下面支架高度使斜面的A、D点离地高为多少？
（2）接（1）问，求滑块在斜面上走过的总路程．
（3）当滑块的以不同初速度进入EF，求其通过最高点F和小圆弧最低点E时受压力之差的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律求出滑块恰好到达F点的速度，根据速度方向与斜面AB平行，结合平抛运动的规律，运用平行四边形定则求出竖直分速度，从而得出AD离地的高度．
（2）根据平行四边形定则求出进入A点时滑块的速度，对全过程运用动能定理，求出滑块在斜面上走过的总路程．
（3）根据牛顿第二定律分别求出E、F的弹力，结合机械能守恒定律得出压力差，结合最高点的最小速度求出压力之差的最小值．

解答 解：（1）在F点，由牛顿第二定律得：mg=m$\frac{v_F^2}{2R}$，
得：v_F=$\sqrt{2gR}$
到达A点时速度方向要沿着AB，则有：v_y=v_F•tanθ=$\frac{3}{4}\sqrt{2gR}$
所以AD离地高度为：h=3R-$\frac{{{v_y}^2}}{2g}=\frac{39}{16}$R
（2）进入A点滑块的速度为：v=$\frac{v_F}{cosθ}=\frac{5}{4}\sqrt{2gR}$
假设经过一个来回能够回到A点，设回来时动能为E_K，则有：E_K=$\frac{1}{2}m{v^2}$-4μmg（cosθ）•2R＜0，所以滑块不会滑到A而飞出．  
根据动能定理得：mg•2Rsinθ-μmg（cosθ）s_总=0-$\frac{1}{2}m{v^2}$
得滑块在锅内斜面上走过得总路程为：s_总=$\frac{221R}{16}$
（3）设初速度、最高点速度分别为v₁、v₂
由牛顿第二定律得：
在E点有：F₁-mg=m$\frac{v_1^2}{R}$
在F点有：F₂+mg=m$\frac{v_2^2}{2R}$
所以F₁-F₂=2mg+$\frac{m（2v_1^2-v_2^2）}{2R}$
由机械能守恒得：$\frac{1}{2}mv_1^2=\frac{1}{2}$mv₂²+3mgR
代入v₂的最小值v₂=$\sqrt{2gR}$得：压力差的最小值为9mg                   
答：（1）设滑块恰能无挤压地从F点飞出，同时为了使滑块恰好沿AB斜面进入右边轨道，应调节右边下面支架高度使斜面的A、D点离地高为$\frac{39}{16}$R．
（2）接（1）问，滑块在斜面上走过的总路程是$\frac{221R}{16}$．
（3）当滑块的以不同初速度进入EF，其通过最高点F和小圆弧最低点E时受压力之差的最小值是9mg．

点评 本题是复杂的力学综合题，关键要正确分析滑块的受力情况和运动情况，把握每个过程和状态的规律，运用平抛运动、动能定理及机械能守恒、牛顿运动定律等基本规律处理．