Question

【题目】牛顿利用行星围绕太阳的运动看做匀速圆周运动，借助开普勒三定律推导出两物体间的引力与它们之间的质量乘积成正比，与他们之间距离的平方成反比。牛顿思考月球绕地球运行的原因时，苹果的偶然落地引起了他的遐想：拉住月球使它围绕地球运动的力与拉着苹果下落的力，是否都与太阳吸引行星的力性质相同，遵循着统一的规律——平方反比规律？因此，牛顿开始了著名的“月—地检验”。

（1）在牛顿的时代，将行星围绕太阳的运动看做匀速圆周运动。月球与地球质心间的距离r、月球绕地球公转的周期T等都能比较精确地测定，请你据此写出计算月球公转的向心加速度a的表达式；已知r≈3.84×108m，T≈2.36×106s，地面附近的重力加速度g＝9.80m/s2，请你根据这些数据估算比值；

（2）将月球绕地球运动也看作匀速圆周运动，已知月球与地球的距离约为地球半径的60倍，如果牛顿的猜想正确，请你据此计算月球公转的向心加速度a和苹果下落的加速度g的比值；与（1）中的结果相比较，你能得出什么结论？

Answer 1

【答案】（1）；；（2）；结论见解析

【解析】

（1）月球与地球质心间的距离r、月球绕地球公转的周期T，月球公转的向心加速度a，则有：

代入相关数据求得：

（2）设月球的质量为，地球的质量为，根据牛顿第二定律有：

设苹果的质量为m，地球的半径为R，根据牛顿第二定律有：

由题意知：

联立可得：

比较（1）中的结果，二者近似相等，由此可得出结论：牛顿的猜想是正确的，即地球对月球的引力，地面上的物体的重力，都与太阳吸引行星的力的性质相同，遵循相同的规律，即——与平方成反比的规律。