Question

（2013?南通二模）如图所示，一直立的轻质薄空心圆管长为L，上下端口处各安放有一个质量均为m的圆柱形物块A、B，A、B紧贴管的内壁，厚度不计．A、B与管内壁间的最大静摩擦力分别是f₁=mg、f₂=kmg （k＞1），且滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等．管下方存在这样一个区域：当物块A进入该区域时受到一个竖直向上的恒力F，而B在该区域运动时不受它的作用，PQ、MN是该区域上下水平边界，高度差为H（H＜L）．现让管的下端从距离上边界PQ高H处由静止释放．
（1）若F=mg，求A到达上边界PQ时的速度v_A和B到达下边界MN时的速度v_B．
（2）为使A、B间无相对运动，求F应满足的条件．
（3）若F=3mg，求物块A到达下边界MN时A、B间距离．

Answer 1

分析：（1）A从下落至到达上边界过程中，只有重力做功，所以机械能守恒，因此可以对整体应用机械能守恒来求整体的速度，也就等于A的速度．
而从整体到上边界再到B落到下边界过程中，对整体来说受到一个向上的恒力F，所以它的机械能不守恒，因此这个过程要用动能定理，一次来求的B的速度．
（2）若使A、B间无相对运动，就是要让A的加速度和整体的加速相等，据此列出两个牛顿第二定律表达式，在结合A的最大静摩擦力即可解出恒力F的范围．
（3）这里涉及到多物体的运动，一定要分析好各个物体的运动，并且明确各物体的运动关系，即其初位置，末位置之间的关系，这个考查的就是两大基础中的运动分析．其实运动和受力很多时候是分不开的，比如这里我们要分析物体的运动，首先要受力分析，以此才能来确定其运动情况．这就是牛顿第二定律应用之一的：由受力确定运动．另外一个是：由运动确定受力．这一问的分析时这样的：
从A到上边界至A到下边界这个过程中：对A来说，我们可以知道它和管相对滑动了，则它与管之间的摩擦力就等于滑动摩擦力，而题目告知滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等，最大静摩擦力又等于mg，所以滑动摩擦力等于mg．A还受重力，向上的恒力F=3mg，由牛顿第二定律可以求的其加速度，进而确定其运动情况．
由于管的质量不计，在此过程中，A对管的摩擦力与B对管的摩擦力方向相反、大小均为mg，B受到管的摩擦力小于kmg，则B与圆管相对静止．而对管和B这个整体来说，受到重力、A对管的摩擦力，且二力平衡，故管和B这个整体做匀速直线运动．
然后计算A和管的运动位移，就可以计算出物块A到达下边界MN时A、B间距离．

解答：解：（1）对A来说受到F=mg的恒力下，A相对管不会滑动，因为这个时候F和重力正好平衡，A受合力为零．
对整体从开始下落到上边界PQ过程中，由机械能守恒定律有
2mgH=

1

2

(2m)vA2 
解得 vA=

2gH

对整体从开始下落到完全离开MN边界的过程中，由动能定理有
  2mg(2H+L)-FH=

1

2

(2m)vB2
解得 vB=

g(3H+2L)

（2）设A、B与管不发生相对滑动时共同加速度为a，A与管的静摩擦力为f_A，则有
对整体：2mg-F=2ma
对A：mg+f_A-F=ma
并且    f_A≤f₁
解得    F≤2mg
即F应满足：0≤F≤2mg
（3）当F=3mg，可知A相对圆管向上滑动，设A的加速度为a₁，则
mg+f₁-F=ma₁
解得 a₁=-g 
与前阶段自由落体H位移比较，A向下减速运动位移H时，速度刚好减到零，此过程运动的时间：t=

2H g

由于管的质量不计，在此过程中，A对管的摩擦力与B对管的摩擦力方向相反、大小均为mg，B受到管的摩擦力小于kmg，则B与圆管相对静止，受到重力、A对管的摩擦力二力平衡，以速度v_A作匀速直线运动．物块A到达下边界MN时A、B间距离
△L=L-（v_At-H）
解得：△L=L-H
答：（1）A到达上边界PQ时的速度：vA=

2gH

，B到达下边界MN时的速度：vB=

g(3H+2L)

（2）为使A、B间无相对运动F应满足：0≤F≤2mg
（3）物块A到达下边界MN时A、B间距离：△L=L-H

点评：本题难点在第三问上，难这是多物体的运动，并且涉及相对运动，如何来分析多物体的运动呢？关键就是要明确这多个物体之间有什么样的相互作用，其各自的于东情况是如何的，相互之间有什么样的相对运动等几个方面去分析，尤其在其受力上，多物体的受力关系往往比较复杂需细心再细心．