Question

12．弹性挡板围成边长为i=100cm的正方形abcd，固定在光滑的水平面上，匀强磁场竖直向下，磁感应强度的大小为B=0.5T．如图所示，一质量m=2×10^-4kg，带电量为q=4×10^-3C小球，从CD的中点小孔P处以某一大小为v的速度垂直于CD边沿水平面射入磁场，设小球与框架相碰后不损失动能．求：
（1）为使小球能从P点垂直于DC射出来，小球入射的速度的大小v是多少？
（1）为使小球在最短的时间内从P点垂直于DC射出来，小球的入射速度v₁是多少？
（2）若小球以大小为v₂=1m/s的速度入射，则需经过多少时间才能由P点出来？

Answer 1

分析 （1）分析清楚小球运动过程，求出小球的轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出小球粒子的速度．
（2）根据题意求出小球的轨道半径，由牛顿第二定律求出粒子的速度．
（3）求出小球做圆周运动的周期，然后求出小球的运动时间

解答 解：（1）小球在磁场中做匀速圆周运动，为使小球能从P点垂直于DC射出来，
小球应在PC间经过n个半圆周与$\frac{1}{4}$圆周，设小球的轨道半径为r，
由几何知识可知：2nr+r=$\frac{L}{2}$，解得：r=$\frac{0.5}{2n+1}$m   n=0、1、2、…，
小球在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，
由牛顿第二定律得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，解得：v=$\frac{5}{2n+1}$  n=0、1、2、…；
（2）根据题意，小球经AC、AB、BD的中点反弹后能以最短的时间射出框架，
即小球的运动半径为：R=0.5m．
由牛顿第二定律得：Bqv=m$\frac{m{v}_{1}^{2}}{R}$，
代入数据解得：v₁=5m/s．
（3）当小球的速度为1m/s时，其半径为R₂=0.1m，
其运动轨迹如图，可知小球在磁场中运动了9个周期．
粒子做圆周运动的周期：T=$\frac{2πR}{v}$=$\frac{2πm}{qB}$，
代入数据解得：T=0.2πs，
粒子的运动时间：t=9T=9×0.2π=1.8πs；
答：（1）为使小球能从P点垂直于DC射出来，小球入射的速度的大小v是$\frac{5}{2n+1}$  n=0、1、2、…；
（2）为使小球在最短的时间内从P点出来，小球的入射速度v₁是5m/s；
（3）若小球以v₂=1m/s的速度入射，则需经过1.8πs才能由P点出来．

点评 本题考查了求小球的速度、小球的运动时间，分析清楚粒子运动过程、应用牛顿第二定律与粒子做圆周运动的周期公式即可正确解题，解题时注意数学知识的应用．