Question

9．如图所示，光滑管形圆轨道半径为R，质量为2m，固定于水平面上，小球a、b大小相同，质量均为m，其直径略小于管径，能在管中无摩擦运动，两球通过最低点速度相同，均为v，且当小球a在最低点时，小球b在最高点，下列说法中正确的是（　　）

• A． 若小球b在最高点对轨道无压力，则此时小球a对轨道的压力为6mg
• B． 若小球b在最高点对轨道无压力，则此时小球a的速度v=$\sqrt{5gR}$
• C． 若小球a在最低点的速度v≥$\sqrt{5gR}$，则此时管形圆轨道对水平面的压力为6mg
• D． 两小球要能在管内做圆周运动，则速度v至少为$\sqrt{5gR}$

Answer 1

分析 要使小球能通过最高点，只要小球的速度大于零即可；而当向心力等于重力时，小球对轨道没有压力，由向心力公式可求得小球在最高点时速度；再由机械能守恒可求得小球在最低点时的速度，及最低点时所需要的向心力，即可求得最低点处压力．

解答 解：AB、在最高点，当小球对轨道无压力时，由重力提供向心力，则有：mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$；
解得：v₁=$\sqrt{gR}$；
由机械能守恒定律可得，mg•2R=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}$mv₁²；
求得小球在最低点时的速度v₂=$\sqrt{5gR}$，故最低点速度至少为$\sqrt{5gR}$，才能使两球在管内做圆周运动；故AB正确．
C、若小球a在最低点的速度v≥$\sqrt{5gR}$时，小球a在最低点时，F_a=mg+m$\frac{{v}^{2}}{R}$；小球b在最高点受轨道作用力为
 F_b=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$-mg；由最低点到最高点的过程中，有
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
联立可得两球对轨道压力差为△F=6mg，所以管形圆轨道对水平面的压力为F=2mg+△F=8mg，故C错误．
D、两小球要能在管内做圆周运动，则小球至少要能到达最高点，由机械能守恒知
  2mgR=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$，即 v=2$\sqrt{gR}$，故D错误．
故选：AB

点评 小球在竖直面内的圆周运动，若是用绳拴着只有重力小于等于向心力时，小球才能通过；而用杆或在管内运动的小球，只要速度大于零，小球即可通过最高点．