Question

6．某实验小组为了体验伽利略理想实验的魅力，利用一块长方形的薄钢片放在两个等高的支架上，做成一个底部凹形由光滑弧面连接的双斜面．该装置可以简化为如图所示模型，斜面与水平面的夹角为θ．现保持小滑块在左侧斜面上的初始释放高度H不变，每次都将小滑块由静止释放．小滑块和斜面间的动摩擦因数为μ．
（1）求小滑块运动到右侧斜面的最大高度h．
（2）该小组发现，有时候θ增大时小滑块运动到右侧最高点时的路程s增大，有时候θ增大时小滑块运动到右侧最高点时的路程s减小．假设μ=$\frac{\sqrt{9}}{3}$，请你求出s与θ的关系，并解答该小组的疑惑．

Answer 1

分析 （1）由牛顿第二定律求出滑块的加速度，然后由匀变速直线运动的速度位移公式求出滑块上升的最大高度．
（2）求出滑块路程的表达时，然后根据表达式分析答题．

解答 解：（1）小滑块在左侧斜面下滑时加速度大小为a₁，到达底端时速度大小为v，
由牛顿第二定律有：mgsinθ-μmgcosθ=ma₁，
解得：a₁=gsinθ-μgcosθ，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：v²=2a₁$\frac{H}{sinθ}$，
小球在右侧斜面向上滑动过程，由牛顿第二定律得：
mgsinθ+μmgcosθ=ma₂，
解得：a₂=gsinθ+μgcosθ，
由匀变速直线运动的速度位移公式得：0-v²=2（-a₁）$\frac{h}{sinθ}$，
解得：h=$\frac{sinθ-μcosθ}{sinθ+μcosθ}$H；
（2）滑块的总路程：s=$\frac{H+h}{sinθ}$=$\frac{2}{sinθ+μcosθ}$H，
s=$\frac{2H}{\sqrt{2+{μ}^{2}}}$$\frac{1}{cos（θ-β）}$，其中：cotβ=μ，
已知：μ=$\frac{\sqrt{9}}{3}$，则：s=$\sqrt{3}$H•$\frac{1}{cos（θ-\frac{π}{3}）}$，
要使滑块滑动，则：θ＞arctanμ=$\frac{π}{6}$，
当$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$时，随θ增大s增大，
当$\frac{π}{6}$＜θ≤$\frac{π}{3}$时，随θ增大s减小；
答：（1）小滑块运动到右侧斜面的最大高度h为$\frac{sinθ-μcosθ}{sinθ+μcosθ}$H．
（2）s与θ的关系为：s=$\frac{2}{sinθ+μcosθ}$H，当$\frac{π}{3}$＜θ＜$\frac{π}{2}$时，随θ增大s增大，当$\frac{π}{6}$＜θ≤$\frac{π}{3}$时，随θ增大s减小．

点评 本题考查了求滑块的高度、求路程与斜面倾角的关系，考查了牛顿第二定律的应用，分析清楚滑块的运动过程、应用牛顿第二定律与匀变速运动公式即可解题；本题的难点与解题的关键是：应用数学知识分析答题．