Question

11．如图所示，原长分别为L₁和L₂、劲度系数分别为k₁和k₂的轻质弹簧竖直悬挂在天花板上．两弹簧之间有一质量为m₁的物体，最下端挂着质量为m₂的另一物体，整个装置处于静止状态．
（1）这时两个弹簧的总长度为多大？
（2）若用一个质量为M的平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和，求这时平板受到上面物体m₂的压力．

Answer 1

分析 （1）分别对两个弹簧运用胡克定律列式求解伸长量，然后求和；
（2）分别对两物体进行分析，根据平衡关系可求得形变量及压力大小．

解答 解：（1）劲度系数为k₁轻质弹簧受到的向下拉力（m₁+m₂）g，设它的伸长量为x₁，根据胡克定律有：
（m₁+m₂）g=k₁ x₁
解得：${x_1}=\frac{{（{m_1}+{m_2}）g}}{k_1}$
劲度系数为k₂轻质弹簧受到的向下拉力m₂g，设它的伸长量为x₂，根据胡克定律有：
m₂g=k₂ x₂
解得：${x_2}=\frac{{{m_2}g}}{k_2}$
这时两个弹簧的总长度为：L=L₁+L₂+x₁+x₂=L₁+L₂+$\frac{{（{m_1}+{m_2}）g}}{k_1}$+$\frac{{{m_2}g}}{k_2}$
（2）用一个平板把下面的物体竖直缓慢地向上托起，直到两个弹簧的总长度等于两弹簧的原长之和时，下面的弹簧应被压缩x，上面的弹簧被拉伸x．
以m₁为对象，根据平衡关系有
（k₁+k₂）x=m₁g
解得：$x=\frac{{{m_1}g}}{{{k_1}+{k_2}}}$
以m₂为对象，设平板对m₂的支持力为F_N，根据平衡关系有
F_N=k₂x+m₂g=k₂×$\frac{{{m_1}g}}{{{k_1}+{k_2}}}$+m₂g=$\frac{{{k_2}{m_1}g}}{{{k_1}+{k_2}}}$+m₂g=$\frac{{{k_1}{m_2}g+{k_2}（{m_1}+{m_2}）g}}{{{k_1}+{k_2}}}$
故这时平板受到下面物体m₂的压力F_N'=$\frac{{{k_1}{m_2}g+{k_2}（{m_1}+{m_2}）g}}{{{k_1}+{k_2}}}$．
答：（1）这时两个弹簧的总长度为L₁+L₂+$\frac{{（{m_1}+{m_2}）g}}{k_1}$+$\frac{{{m_2}g}}{k_2}$；
（2）这时平板受到上面物体m₂的压力为$\frac{{{k_1}{m_2}g+{k_2}（{m_1}+{m_2}）g}}{{{k_1}+{k_2}}}$

点评 求出本题的关键注意研究对象的选择；同时知道当两个弹簧的总长度等于两弹簧原长之和时，上边弹簧的伸长量与下边弹簧的压缩量相等．