Question

如图，水平地面上方有一绝缘弹性竖直薄档板，板高h=3m，与板等高处有一水平放置的小篮筐，筐口的中心距挡板s=1m．整个空间存在匀强磁场和匀强电场，磁场方向垂直纸面向里，磁感应强度B=1T，而匀强电场未在图中画出；质量m=1×10^-3kg、电量q=-1×10^-3C的带电小球（视为质点），自挡板下端的左侧以某一水平速度v₀开始向左运动，恰能做匀速圆周运动，若小球与档板相碰后以原速率弹回，且碰撞时间不计，碰撞时电量不变，小球最后都能从筐口的中心处落入筐中．（g取10m/s²，可能会用到三角函数值sin37°=0.6，cos37°=0.8）．试求：
（1）电场强度的大小与方向；
（2）小球运动的可能最大速率；
（3）小球运动的可能最长时间．

Answer 1

分析：（1）小球做匀速圆周运动，故电场力与重力平衡，根据平衡条件列式求解；
（2）洛伦兹力提供向心力，故半径越大，速度越大，当小球不与挡板相碰直接飞入框中，其运动半径最大，根据几何关系求解出半径，然后求解最大速度；
（3）要求最小速度，需求最小半径，画出轨迹，根据几何关系得到半径的可能值，然后求解速度．

解答：解：（1）小球做匀速圆周运动，则
qE=mg        
故E=

mg

q

=10N/C
电场方向竖直向下
（2）若小球速率最大，则运动半径最大，
如轨迹①所示

R

2 1

=s2+(h-R1)2
可得：R1=

5

3

m
由qv1B=m

v 2 1

R1

  
?v1=

qBR1

m

=

5

3

m/s
（3）因为速度方向与半径垂直，圆心必在挡板所在的竖直线上．
      
且R≥s=1m
小球与挡板碰撞n次后落入筐中，则有
2nR＜h
?n＜1.5，故n可取0或1才能
保证小球落入筐中
①当n=0时，即为（2）问中的解
②当n=1时，有
（3R-h）²+s²=R²
可得R₂=1m，运动轨迹如由图中②所示
或者R3=

5

4

m，运动轨迹如由图中③所示
以轨迹③运动，小球所花时间最长 
则有
T=

2πm

qB

=2π
sinθ=

R2

R3

=

4

5

故θ=53°，轨迹③运动对应的圆心角α=360°+（180°-53°）=487°
运动最长时间为t=

α

360°

T=

974

360

πs≈8.5s
答：（1）电场强度E=10N/C，电场方向竖直向下；
（2）小球运动的可能最大速率为

5

3

m/s；
（3）小球运动的可能最长时间为8.5s．

点评：本题关键明确小球的运动规律，找到向心力来源，画出轨迹，然后根据几何关系求解半径，再联立方程组求解．