Question

13．如图所示，仅在xoy平面的第I象限内存在垂直纸面的匀强磁场，一细束电子从x轴上的P点以大小不同的速率射入该磁场中，速度方向均与x轴正方向成锐角8°．已知速率为v₀的电子可从x轴上的Q点离开磁场，不计电子间的相互作用，已知PQ=l，OP=3l，电子的电量为e，质量为m，求
（1）磁感应强度的大小和方向；
（2）要使全部电子能从OP间射出，电子速率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由几何知识求出从Q点射出的电子的轨道半径，然后应用牛顿第二定律求出磁感应强度，由左手定则判断出磁场的方向；
（2）求出电子做圆周运动的临界半径，然后应用牛顿第二定律求出电子的临界速度，再确定电子的速度范围．

解答 解：（1）由几何知识可得，从Q点射出的电子的半径：$R=\frac{l}{2sinθ}$，
电子做圆周运动，洛伦兹力提供向心力，由牛顿运动定律得：
$evB=m\frac{{{v_0}^2}}{R}$，
解得：$B=\frac{{2m{v_0}sinθ}}{el}$，
电子在磁场中沿逆时针方向做圆周运动，由左手定则可知：磁感应强度的方向垂直纸面向外；
（2）设能从OP射出粒子的运动最大半径为r，则：r+rsinθ=3l，
解得：$r=\frac{3l}{1+sinθ}$，
设相应的最大速度为v，根据牛顿运动定律得：$evB=m\frac{v^2}{r}$，
解得：$v=\frac{6sinθ}{1+sinθ}{v_0}$，
即速度满足的条件为：$v≤\frac{6sinθ}{1+sinθ}{v_0}$；
答：（1）磁感应强度的大小为$\frac{2m{v}_{0}sinθ}{el}$，方向：垂直纸面向外；
（2）要使全部电子能从OP间射出，电子速率的取值范围是：$v≤\frac{6sinθ}{1+sinθ}{v_0}$．

点评 电子在匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，分析清楚电子运动过程，求出电子做圆周运动半径是正确解题的关键，应用牛顿第二定律可以解题．