Question

10．如图所示，在xOy平面内y＞0的区域内分布着沿y轴负方向的匀强电场，在x轴下方有两个宽度相同且边界平行的条形匀强磁场区域，匀强磁场的磁感应强度大小均为B，方向垂直于xOy平面向外，磁场区域I的上边界与x轴重合，两个磁场区域的间距为l．质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴上的P点以初速度v₀沿x轴正向射出，然后从x轴上的Q点射入磁场区域I．已知OP=h，OQ=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h$，粒子的重力忽略不计．求

（1）粒子从x轴上的Q点射入磁场区域I时的速度大小v；
（2）若粒子未从磁场区域I的下边界穿出，求条形磁场区域的最小宽度d₀；
（3）若粒子恰好没从磁场区域II的下边界穿出，求粒子从P点射入电场区域到经过两个磁场区域后返回x轴的时间t．

Answer 1

分析 （1）粒子从P到Q到类似平抛运动，根据分运动公式列式求解末速度的大小和方向；
（2）粒子进入磁场后做匀速圆周运动，若恰好返回，画出临界轨迹，结合几何关系求解出半径，再运用洛伦兹力提供向心力并结合牛顿第二定律列式求解；
（3）首先粒子要能够到达磁场区域Ⅲ，其次要能够从磁场区域Ⅲ返回，从而确定磁场区域Ⅲ下边界距x轴距离的范围．

解答 解：（1）粒子在电场中类平抛运动
在x方向 $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}h={v_0}t$
在y方向 $h=\frac{{0+{v_{Qy}}}}{2}t$
而$v=\sqrt{v_0^2+v_{Qy}^2}$
联立，解得v=2v₀
（2）粒子在磁场区域I中匀速圆周运动 $qvB=m\frac{v^2}{r}$
恰好未从其下边界穿出，由几何关系得 rsin30°+r=d₀
联立，解得${d_0}=\frac{{3m{v_0}}}{qB}$；
（3）由对称性，若把粒子在磁场中的运动衔接起来，刚好构成一个圆心角为240°的圆周，如图所示．
粒子在磁场中运动的时间为${t_1}=\frac{2}{3}T=\frac{4πm}{3qB}$
由几何关系得2d=Rsin30°+R
所以，磁场区域的宽度 $d=\frac{3}{4}R$
故有 $cosθ=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
粒子在无磁场区域运动的路程 $s=\frac{2l}{cosθ}$
粒子在无磁场区域运动的时间 ${t_2}=\frac{s}{v}=\frac{{4\sqrt{15}l}}{{15{v_0}}}$
粒子在电场区域运动的时间 ${t_3}=\frac{{2\sqrt{3}h}}{{3{v_0}}}$
所以，粒子从P点射入电场区域到返回x轴的时间为$t={t_1}+{t_2}+{t_3}=\frac{4πm}{3qB}+\frac{{4\sqrt{15}l}}{{15{v_0}}}+\frac{{2\sqrt{3}h}}{{3{v_0}}}$
答：（1）粒子从x轴上的Q点射入磁场区域I时的速度大小是2v₀；
（2）若粒子未从磁场区域I的下边界穿出，条形磁场区域的最小宽度是$\frac{3m{v}_{0}}{qB}$；
（3）若粒子恰好没从磁场区域II的下边界穿出，粒子从P点射入电场区域到经过两个磁场区域后返回x轴的时间是$\frac{4πm}{3qB}+\frac{4\sqrt{15}l}{15{v}_{0}}+\frac{2\sqrt{3}h}{3{v}_{0}}$．

点评 本题第一问关键明确粒子现在类似平抛运动，然后做匀速圆周运动，关键是画出磁场中的临界轨迹；第三问磁场中的轨迹可以合成同一个圆周．