Question

【题目】设有一湖水足够深的咸水湖，湖面宽阔而平静．初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放，释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触．已知湖水密度为；物块边长为b，密度为，且．在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下，求物块从初始位置出发往返一次所需的时间．

Answer 1

【答案】

【解析】

由于湖面足够宽阔而物块体积很小，湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变，因此，可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系，以下简称x系．设物块下底面的坐标为x，在物块未完全浸没入湖水时，其所受到的浮力为

， ①

式中g为重力加速度。

物块的重力为． ②

设物块的加速度为a，根据牛顿第二定律有

③

将①和②式代入③式得． ④

将x系坐标原点向下移动而建立新坐标系，简称X系．新旧坐标的关系为

． ⑤

把⑤式代入④式得． ⑥

⑥式表示物块的运动是简谐振动．若X=0，则a=0，对应于物块的平衡位置．由⑤式可知，当物块处于平衡位置时，物块下底面在x系中的坐标为

⑦

物块运动方程在X系中可写为

⑧

利用参考圆可将其振动速度表示为

， ⑨

式中为振动的圆频率， ⑩

在⑧和⑨式中A和分别是振幅和初相位，由初始条件决定．在物块刚被释放时，即t=0时刻有x=0，由⑤式得

，

．

由⑧至式可求得

．

将⑩和式分别代入⑧和⑨式得

，

由式可知，物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期．但物块的运动始终由表示是有条件的，那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中．若物块从某时刻起全部浸没在湖水中，则湖水作用于物块的浮力变成恒力，物块此后的运动将不再是简谐振动，物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定。为此，必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况。显然，在x系中看，物下底面坐标为b时，物块刚好被完全浸没．由⑤式知在X系中这一临界坐标值为

即物块刚好完全浸没在湖水中时，其下底面在平衡位置以下处．注意到在振动过程中，物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振幅A．下面分两种情况讨论，

Ⅰ．，由和两式得．

在这种情况下，物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中．因而，物块从初始位置起，经一个振动周期，再次返回至初始位置．由⑩式得振动周期为

物块从初始位置出发往返一次所需的时间为

Ⅱ．，由和两式得．

在这种情况下，物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下．设从初始位置起，经过时间物块刚好全部浸入湖水中，这时．由和式得

取合理值，有

由上式和式可求得这时物块的速度为

此后，物块在液体内作匀减速运动，以表示加速度的大小，由牛顿定律有

设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为

由

得

物块从初始位置出发往返一次所需的时间为