【题目】设有一湖水足够深的咸水湖,湖面宽阔而平静.初始时将一体积很小的匀质正立方体物块在湖面上由静止开始释放,释放时物块的下底面和湖水表面恰好相接触.已知湖水密度为;物块边长为b,密度为
,且
.在只考虑物块受重力和液体浮力作用的情况下,求物块从初始位置出发往返一次所需的时间.
【答案】
【解析】
由于湖面足够宽阔而物块体积很小,湖面的绝对高度在物块运动过程中始终保持不变,因此,可选湖面为坐标原点并以竖直向下方向为正方向建立坐标系,以下简称x系.设物块下底面的坐标为x,在物块未完全浸没入湖水时,其所受到的浮力为
, ①
式中g为重力加速度。
物块的重力为. ②
设物块的加速度为a,根据牛顿第二定律有
③
将①和②式代入③式得. ④
将x系坐标原点向下移动而建立新坐标系,简称X系.新旧坐标的关系为
. ⑤
把⑤式代入④式得. ⑥
⑥式表示物块的运动是简谐振动.若X=0,则a=0,对应于物块的平衡位置.由⑤式可知,当物块处于平衡位置时,物块下底面在x系中的坐标为
⑦
物块运动方程在X系中可写为
⑧
利用参考圆可将其振动速度表示为
, ⑨
式中为振动的圆频率,
⑩
在⑧和⑨式中A和分别是振幅和初相位,由初始条件决定.在物块刚被释放时,即t=0时刻有x=0,由⑤式得
,
.
由⑧至式可求得
.
将⑩和式分别代入⑧和⑨式得
,
由式可知,物块再次返回到初始位置时恰好完成一个振动周期.但物块的运动始终由表示是有条件的,那就是在运动过程中物块始终没有完全浸没在湖水中.若物块从某时刻起全部浸没在湖水中,则湖水作用于物块的浮力变成恒力,物块此后的运动将不再是简谐振动,物块再次返回到初始位置所需的时间也就不再全由振动的周期决定。为此,必须研究物块可能完全浸没在湖水中的情况。显然,在x系中看,物下底面坐标为b时,物块刚好被完全浸没.由⑤式知在X系中这一临界坐标值为
即物块刚好完全浸没在湖水中时,其下底面在平衡位置以下处.注意到在振动过程中,物块下底面离平衡位置的最大距离等于振动的振幅A.下面分两种情况讨论,
Ⅰ.,由和两式得
.
在这种情况下,物块在运动过程中至多刚好全部浸没在湖水中.因而,物块从初始位置起,经一个振动周期,再次返回至初始位置.由⑩式得振动周期为
物块从初始位置出发往返一次所需的时间为
Ⅱ.,由和两式得
.
在这种情况下,物块在运动过程中会从某时刻起全部浸没在湖水表面之下.设从初始位置起,经过时间物块刚好全部浸入湖水中,这时
.由和式得
取合理值,有
由上式和式可求得这时物块的速度为
此后,物块在液体内作匀减速运动,以表示加速度的大小,由牛顿定律有
设物块从刚好完全浸入湖水到速度为零时所用的时间为
由
得
物块从初始位置出发往返一次所需的时间为
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【题目】下图是做“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中打点计时器打出的纸带。打点计时器的打点周期为0.02s,且每两个计数点间还有四个计时点未画出。已知计数点之间的距离分别为:S1=1.20cm,S2=2.39cm,S3=3.60cm,S4=4.78cm。
(1)两计数点之间的时间间隔为_______;(小数点后保留两位)
(2)计数点1和3对应的小车速度分别为:v1=________m/s,v3=__________m/s;
小车运动的加速度a=________。(小数点后保留两位)
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【题目】如图所示,在水平面上有一质量为M的三角形木块a,在它的两个斜面上分别放置着质量为m1和m2的两个木块b和c,已知m1<m2,整个装置处于静止状态,则下列说法正确的是( )
A.地面对木块a的支持力大小为(m1+m2十M)g
B.地面对木块a有水平向左的摩擦力作用
C.木块a对木块b的摩擦力大于对木块c的摩擦力
D.木块b对木块a有沿斜面向上的摩擦力
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【题目】如图所示,质量M=2 kg的木块套在水平杆上,并用轻绳与质量m=
kg的小球相连.今用跟水平方向成α=30°角的力F=10
N拉着球带动木块一起向右匀速运动,运动中M、m相对位置保持不变,g取10 N/kg.求:
(1)运动过程中轻绳拉力及与水平方向夹角θ;
(2)木块与水平杆间的动摩擦因数μ.(结果保留两位有效数字)
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【题目】如图为某高压锅结构示意图,锅盖上有两个气孔,气孔1使锅内与外界连通,此时锅内气体与外界大气压强相等。当锅内温度达到40℃时,气孔1会封闭,将锅内外隔离。若锅内温度继续升高,锅内气体压强增大,当压强增大到设计的最大值时,气体会顶起气孔2上的限压阀。已知限压阀的质量为20g,气孔2的横截面积为8mm2,锅的容积为0.04m3。现在锅内放入20℃、极少量的水,然后盖好锅盖加热,很快水完全汽化后气孔1封闭。求:(气体可视为理想气体,大气压强p0=1.0×105Pa)
(1)气孔2上的限压阀被顶起时,锅内气体的温度是多少?
(2)从气孔1封闭到温度升到120℃,漏出的气体与气孔1封闭时锅内气体的质量比.
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【题目】如图所示,两个半径不等的用细金属导线做成的同心圆环固定在水平的桌面上。大圆环半径为,小圆环表面绝缘半径为
(
),两圆环导线每单位长度电阻均为
,它们处于匀强磁场中,磁感应强度大小为
,方向竖直向下,一每单位长度电阻为
的长直金属细杆放在大圆环平面上,并从距圆环中心左侧为
(>
)的ab位置,以速度
匀速向右沿水平面滑动到相对于大圆环中心与ab对称的位置cd,滑动过程中金属杆始终与大圆环保持密接。假设金属杆和大圆环的电流在小圆环处产生的磁场均可视为匀强磁场。试求在上述滑动过程中通过小圆环导线横截面的电荷量。
提示:当半径为,长度为
的一段圆弧导线通有电流
时,圆弧电流在圆心处产生的磁感应强度大小为
,方向垂直于圆弧所在平面且与圆弧电流的方向满足右手螺旋法则;无限长直导线通有电流
时,电流在距直导线距离为
处产生的磁感应强度
的大小为
,其中
为已知常量。
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【题目】如图,汽车通过路口前以10m/s匀速行驶,还有3s绿灯将熄灭,此时汽车距离停车线13m。该车加速时加速度大小为2m/s2,减速时加速度
大小为4m/s2。此路段允许行驶的最大速度为
m/s。则:
(1)如果立即做匀减速运动,在绿灯熄灭时汽车离停车线多远?
(2)如果立即做匀加速运动,在绿灯熄灭时汽车是否通过了停车线?若通过,试计算在绿灯熄灭时汽车离此停车线的距离?
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【题目】几个水球可以挡住子弹?《国家地理频道》实验证 实:四个水球就足够!四个完全相同的水球紧挨在一 起水平排列,子弹在水球中沿水平方向做匀变速直线 运动。恰好能穿出第四个水球,则可以判定( )
A. 由题目信息可以求得子弹穿过每个水球的时间比
B. 子弹在每个水球中运动的时间相同
C. 子弹在每个水球中速度变化量相同
D. 子弹穿过每个水球过程中,速度变化量依次增大
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