Question

1．如图为一粗糙的四分之一圆弧轨道，半径为R，轨道圆心O与A点等高，一质量为m的小球在不另外施力的情况下，能以速度v沿轨道自A点匀速运动到B点，取小球在A点时为计时起点，且此时的重力势能为零，重力加速度为g，则在此过程中，下列说法正确的是（　　）

• A． 重力做功的平均功率为$\frac{1}{2}$mgv
• B． 重力做的功等于小球克服摩擦力做的功
• C． 小球重力势能随时间的变化关系为E_p=mgRsin$\frac{vt}{R}$
• D． 小球的机械能随时间的变化关系为E=$\frac{1}{2}$mv²+mgRsin$\frac{vt}{R}$

Answer 1

分析 根据重力做功的大小以及运动的时间，结合平均功率的公式求出重力做功的平均功率．根据动能定理，抓住合力做功为零，得出重力做功与小球克服摩擦力做功的大小关系．根据几何关系，通过下降的高度求出重力势能的表达式，抓住机械能等于重力势能和动能之和得出机械能随时间变化的表达式．

解答 解：A、重力做功为mgR，小球运动的时间$t=\frac{\frac{πR}{2}}{v}=\frac{πR}{2v}$，则重力做功的平均功率$\overline{P}=\frac{mgR}{t}=\frac{2mgv}{π}$，故A错误．
B、小球速度大小不变，根据动能定理知，合力做功为零，由于支持力不做功，则重力做功等于小球克服摩擦力做功的大小，故B正确．
C、经过时间t，下降的高度h=Rsin$\frac{vt}{R}$，则重力势能随时间的变化关系为E_p=-mgh=-mgRsin$\frac{vt}{R}$，故C错误．
D、小球的机械能E=E_k+E_p=$\frac{1}{2}m{v}^{2}-$mgRsin$\frac{vt}{R}$，故D错误．
故选：B．

点评 解决本题的关键知道平均功率和瞬时功率的区别，掌握这两种功率的求法，以及在求解重力势能时，注意零势能平面的选取．