Question

2．如图所示，在竖直平面内固定有两个很靠近的同心圆轨道，外圆光滑，内圆粗糙．一质量为m的小球从轨道的最低点以初速度v₀向右运动，球的直径略小于两圆间距，球运动的轨道半径为R，不计空气阻力．设小球过最低点时重力势能为零，下列说法正确的是（　　）

• A． 若小球运动到最高点时速度为0，则小球机械能一定不守恒
• B． 若小球第一次运动到最高点时速度大小为0，则v₀一定大于$\sqrt{4gR}$
• C． 若使小球始终做完整的圆周运动，则v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$
• D． 若经过足够长时间，小球最终的机械能可能为$\frac{3}{2}$mgR

Answer 1

分析 内圆粗糙，小球与内圆接触时要受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，机械能不守恒；外圆光滑，小球与外圆接触时不受摩擦力作用，只有重力做功，机械能守恒，应用牛顿第二定律与机械能守恒定律分析答题．

解答 解：A、若小球运动到最高点时速度为0，则小球在运动过程中一定与内圆接触，受到摩擦力作用，要克服摩擦力做功，小球的机械能一定不守恒，故A正确；
B、如果内圆光滑，小球在运动过程中不受摩擦力，小球在运动过程中机械能守恒，如果小球运动到最高点时速度为0，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R，小球在最低点时的速度v₀=$\sqrt{4gR}$，由于内圆粗糙，小球在运动过程中要克服摩擦力做功，则小球在最低点时的速度v₀一定大于$\sqrt{4gR}$，故B正确．
C、若使小球始终做完整的圆周运动，小球应沿外圆运动，在运动过程中不受摩擦力，机械能守恒，小球恰好运动到最高点时速度设为v，则有 mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，由机械能守恒定律得：$\frac{1}{2}$mv₀²=mg•2R+$\frac{1}{2}$mv²，小球在最低点时的最小速度v₀=$\sqrt{5gR}$，所以若使小球始终做完整的圆周运动，则v₀一定不小于$\sqrt{5gR}$．故C正确．
D、若初速度v₀比较小，小球在运动过程中一定与内圆接触，机械能不断减少，经过足够长时间，小球最终在圆心下方运动，最大的机械能为mgR，所以小球最终的机械能不可能为$\frac{3}{2}$mgR．若初速度v₀足够大，小球始终沿外圆做完整的圆周运动，机械能守恒，机械能必定大于2mgR，故D错误．
故选：ABC

点评 本题的关键是理清运动过程，抓住临界状态，明确最高点的临界条件，运用机械能守恒定律和向心力知识结合进行研究．