Question

19．如图所示，右边传送带长L=15m、逆时针转动速度为v₀=16m/s，左边是光滑竖直半圆轨道（半径R=0.8m），中间是光滑的水平面AB（足够长）．用轻质细线连接甲、乙两物体，中间夹一轻质弹簧，弹簧与甲、乙两物体不拴连．甲的质量为m₁=3kg，乙的质量为m₂=1kg，甲、乙均静止在光滑的水平面上．现固定甲物体，烧断细线，乙物体离开弹簧后在传送带上滑行的最远距离为s_m=12m．传送带与乙物体间动摩擦因数为0.6，重力加速度g取10m/s²，甲、乙两物体可看作质点．
（1）固定乙物体，烧断细线，甲物体离开弹簧后进入半圆轨道，求甲物体通过D点时对轨道的压力大小；
（2）甲、乙两物体均不固定，烧断细线以后（甲、乙两物体离开弹簧时的速度大小之比为$\frac{{v}_{1}′}{{v}_{2}′}$=$\frac{1}{3}$），问甲物体和乙物体能否再次在AB面上发生水平碰撞？若碰撞，求再次碰撞前瞬间甲、乙两物体的速度；若不会碰撞，说明原因．

Answer 1

分析 （1）根据牛顿第二定律及运动学公式可求得速度，再由机械能这定律可求得D点的速度，由牛顿第二定律及向心力公式可求得对轨道的压力；
（2）根据能量关系及题意给出的速度关系可求得弹出后的速度，再分别对两物体进行分析，明确二者再次相遇时的速度，从而分析能否相撞．

解答 解：（1）乙物体滑上传送带做匀减速运动：μm₂g=m₂a①
由运动学公式：v₂²=2as_m②
由机械能守恒定律得弹簧压缩时的弹性势能E_p=$\frac{1}{2}$m₂v₂²③
固定乙物体，烧断细线，甲物体离开弹簧的速度满足：E_p=$\frac{1}{2}$m₁v₁²④
甲物体从B运动到D过程中机械能守恒：2m₁gR=$\frac{1}{2}$m₁v₁²-$\frac{1}{2}$m₁v_D²⑤
甲物体在D点：m₁g+F_N=m₁$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$⑥
联立①～⑥得F_N=30 N
由牛顿第三定律知F_N′=F_N=30 N
（2）甲、乙两物体均不固定，烧断细线以后：E_p=$\frac{1}{2}$m₁v₁²+$\frac{1}{2}$m₂v₂²⑦
由题意：$\frac{{v}_{1}′}{{v}_{2}′}$=$\frac{1}{3}$                                            ⑧
解得：v₁′=2$\sqrt{3}$ m/s，v₂′=6$\sqrt{3}$ m/s
之后甲物体沿轨道上滑，设上滑的最高点高度为h，则$\frac{1}{2}$m₁v₁′²=m₁gh，
得h=0.6 m＜0.8 m
故甲滑不到与圆心等高位置就会返回，返回AB面上时速度大小仍然是
v₁′=2$\sqrt{3}$ m/s
乙物体滑上传送带，因v′=6$\sqrt{3}$ m/s＜16 m/s，则乙物体先向右做匀减速运动，后向左做匀加速运动．
由对称性可知乙物体返回AB面上时速度大小仍然为v′=6$\sqrt{3}$ m/s
甲物体和乙物体能再次在AB面上发生水平碰撞．
答：（1）甲物体通过D点时对轨道的压力大小为30N；
（2）甲物体和乙物体会再次在AB面上发生水平碰撞；再次碰撞前瞬间甲、乙两物体的速度分别为2$\sqrt{3}$ m/s和6$\sqrt{3}$ m/s

点评 本题考查了与弹簧有关的能量问题，有一定综合性，关键要清楚分析两个物体的运动情况，能选择不同的研究过程运用物理规律求解．明确能量关系的正确应用．