Question

在光滑水平面上，有一质量m₁=20kg的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一个质量为m₂=25kg的拖车相连接．一质量m3=15kg的物体放在拖车的平板上．物体与平板间的动摩擦因数为μ=0.20．开始时，拖车静止，绳未拉紧，如图所示，小车以v₀=3m/s的速度向前运动．求：
（1）当m₁、m₂、m₃以同一速度前进时，速度的大小．
（2）物体在拖车平板上移动的距离．（g取10m/s²）

Answer 1

分析：（1）将小车、拖车和物体三个物体看成一系统，在水平方向上动量守恒，根据动量守恒定律求出三者一起运动的速度大小．
（2）轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在此过程中，小车与拖车在水平方向上动量守恒，根据动量守恒求出小车和拖车的共同速度，然后物体在拖车上发生相对滑动，根据动能定理求出拖车和小车整体与物体的位移，从而求出它们的相对位移．

解答：解：（1）由小车、拖车和物体三者水平方向动量守恒：m₁v₀=（m₁+m₂+m₃）u，
得三者一起运动的速度大小为u=

m1

m1+m2+m3

v0=

20

20+25+15

×3=1m/s．
（2）小车向前运动时，轻绳将逐渐伸直．因为轻绳从伸直到拉紧的时间极短，在这极短时间内绳中产生的张力远大于物体对拖车的摩擦力，可以认为仅是小车与拖车间发生了相互作用．对小车与拖车由水平方向动量守恒：
m₁v₀=（m₁+m₂）v₁₂，
得绳刚拉紧时两者的共同速度v12=

m1

m1+m2

v0=

20

20+25

×3=

4

3

m/s


此后，由于物体和拖车间形成了相对速度，拖车对物体产生摩擦力f（f=μm₃g），使物体向前（与v₁₂同向）作加速运动，物体对拖车的摩擦力f′（f′=f）使拖车（包括小车）作减速运动，直至物体和拖车（包括小车）以共同速度u运动．在这个过程中，设拖车（包括小车）对地面的位移为s₂，物体对地面的位移为s3，对拖车位移为d，如图所示．根据动能定理，对拖车和小车：
-f′s2=

1

2

(m1+m2)u2-

1

2

(m1+m2)v122
即μm3gs2=

1

2

(m1+m2)(v122-u2)
对物体fs3=

1

2

m3u2
即μm3gs3=

1

2

m3u2
由此解得拖车和物体的位移分别为
s2=

(m1+m2)(v122-u2)

2μm3g

=

(20+25)( 16 9 -1)

2×0.20×15×10

m=

7

12

m．
s3=

u2

2μg

=

1

2×0.20×10

m=

1

4

m．
所以，物体在拖车平板上移动的距离d=s2-s3=

7

12

-

1

4

m=

1

3

m≈0.33m．
答：（1）当m₁、m₂、m₃以同一速度前进时，速度的大小为1m/s．
（2）物体在拖车平板上移动的距离为0.33m．

点评：本题综合运用了动量守恒定律、动能定理等知识点，综合性强，关键要合理地选择研究的系统，研究的过程，运用合适的定律进行求解．