Question

4．如图，太阳系中星体A绕太阳做半径为R₁的圆周运动，星体B作抛物线运动，B在近日点处与太阳的相距为R₂=2R₁，且两轨道在同一平面上，两星体运动方向如图中箭头所示．设B运动到近日点时，A恰好运动到B与太阳连线上．A、B随即发生某种强烈的相互作用而迅速合并成一个新的星体，其间的质量损失可忽略，试证明新星体绕太阳的运动轨道为椭圆．

Answer 1

分析 A、B星体靠拢过程中动量守恒，从而求出新星体C的速度，计算C新星体的机械能判断轨道的形状是否为椭圆．

解答 证明：计算新星体C的机械能，设C距日R₃，三星体速度如图
在径向：可以认为在A、B靠拢过程中质心未动，所以C到太阳的距离为${R}_{3}=\frac{{m}_{A}^{\;}{R}_{1}^{\;}+{m}_{B}^{\;}{R}_{2}^{\;}}{{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}}=\frac{{m}_{A}^{\;}+2{m}_{B}^{\;}}{{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}}{R}_{1}^{\;}$①
在切向：A、B合并过程中动量也守恒，则有$（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{v}_{C}^{\;}={m}_{A}^{\;}{v}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}{v}_{B}^{\;}$②
研究②中的${v}_{A}^{\;}、{v}_{B}^{\;}$：
因A作圆周运动，故${v}_{A}^{\;}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}^{\;}}}$
所以${v}_{B}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{2}^{\;}}}=\sqrt{\frac{2GM}{2{R}_{1}^{\;}}}=\sqrt{\frac{GM}{{R}_{1}^{\;}}}={v}_{A}^{\;}$
将${v}_{A}^{\;}、{v}_{B}^{\;}$代入②得${v}_{C}^{\;}=\sqrt{\frac{2GM}{{R}_{1}^{\;}}}$③
利用①③C星体的机械能为
${E}_{C}^{\;}=\frac{1}{2}（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）{v}_{C}^{2}-G\frac{M（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）}{{R}_{C}^{\;}}$
=$\frac{1}{2}（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）\frac{2GM}{{R}_{1}^{\;}}-G\frac{M（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）}{\frac{{m}_{A}^{\;}+2{m}_{B}^{\;}}{{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}}{R}_{1}^{\;}}$
=$-\frac{1}{2}G\frac{M{m}_{A}^{\;}（{m}_{A}^{\;}+{m}_{B}^{\;}）}{（{m}_{A}^{\;}+2{m}_{B}^{\;}）{R}_{1}^{\;}}＜0$
因此，新星体C的轨道为椭圆．

点评 本题难度很大，关键是运用了选修3-5知识点动量守恒定律，同学们平时学习时要学会构建物理模型，记住有用的结论，本题中动量守恒定律，机械能、万有引力定律等知识点，平时学习要各个击破．