Question

17．用如图所示的浅色水平传送带AB和斜面BC将货物运送到斜面的顶端．AB距离L=11m，传送带始终以v=12m/s匀速顺时针运行．传送带B端靠近倾角θ=37°的斜面底端，斜面底端与传送带的B端之间有一段长度可以不计的小圆弧．在A、C处各有一个机器人，A处机器人每隔t=1.0s将一个质量m=10kg、底部有碳粉的货物箱（可视为质点）轻放在传送带A端，货物箱经传送带和斜面后到达斜面顶端的C点时速度恰好为零，C点处机器人立刻将货物箱搬走．已知斜面BC的长度s=5.0m，传送带与货物箱之间的动摩擦因数μ₀=0.55，货物箱由传送带的右端到斜面底端的过程中速度大小损失原来的$\frac{1}{11}$，不计传送带轮的大小，g=10m/s²（sin37°=0.6，cos37°=0.8）．求：
（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ；
（2）如果C点处的机器人操作失误，未能将第一个到达C点的货物箱搬走而造成与第二个货物箱在斜面上相撞．求两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离； （本问结果可以用根式表示）
（3）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t₀=2s的时间内，货物箱在传送带上留下的痕迹长度．

Answer 1

分析 （1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律求出加速度，由运动学公式求出货物箱运动到传送带右端时的速度，进而求出货物箱刚冲上斜面时的速度，货物箱在斜面上向上运动过程中根据运动学公式求出加速度，对货物箱进行受力分析，根据牛顿第二定律即可求得μ；
（2）先计算第一个货物箱到达C点时，第二个货物箱的位置，此时第一个货物箱向下加速运动，第二个货物箱向上减速运动，分别求出它们的加速度，再根据运动学公式即可求解；
（3）2.0s内放上传送带的货物箱有2个，分别求出2个货物箱相对于传送带的位移，即可求解．

解答 解：（1）货物箱在传送带上做匀加速运动过程，根据牛顿第二定律有：μ₀mg=ma₀
解得：a₀=μ₀g=5.5m/s²                                      
由运动学公式：v₁²=2a₀L
解得货物箱运动到传送带右端时的速度大小为：v₁=11m/s
货物箱刚冲上斜面时的速度 v₂=（1-$\frac{1}{11}$）v₁=10m/s
货物箱在斜面上向上运动过程中v₂²=2a₁s
解得：a₁=10m/s²                                   
根据牛顿第二定律：mgsinθ+μmgcosθ=ma₁
解得：μ=0.5；                                   
（2）货物箱由A运动到B的时间为2.0s，由B运动到C的时间为1.0s，可见第一个货物箱冲上斜面C端时第二个货物箱刚好冲上斜面．
货物箱沿斜面向下运动，根据牛顿第二定律有
mgsinθ-μmgcosθ=ma₂
解得加速度大小a₂=2.0m/s²                                 
设第一个货物箱在斜面C端沿斜面向下运动与第二个货物箱相撞的过程所用时间为t，
有：v₂t-$\frac{1}{2}$a₁t ²+$\frac{1}{2}$a₂t ²=s
解得：t=$\frac{5-\sqrt{5}}{4}$s≈0.69 s                               
两个货物箱在斜面上相遇的位置到C端的距离s₁=$\frac{1}{2}$a₂t²=$\frac{1}{2}×2.0×（\frac{5-\sqrt{5}}{4}）^{2}$m=$\frac{30-10\sqrt{5}}{16}m$≈0.48m  
（2）2.0s内放上传送带的货物箱有2个，第1个在传送带上的加速时间t₁=$\frac{{v}_{1}}{{a}_{1}}=\frac{11}{5.5}s$=2.0s；第2个还在传送带上运动，其加速时间 t₃=1.0s．
第1个货物箱与传送带之间的相对位移
△s=vt₁-$\frac{1}{2}$v₁t₁=12×2-$\frac{1}{2}×11×2$=13m
第2个货物箱与传送带之间的相对位移△s′=vt₃-$\frac{1}{4}$v₁t₃=12×1-$\frac{1}{4}×$11×1=9.25m                          
从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t₀=2s的时间内，货物箱在传送带上留下的痕迹长度为：
x=△s+△s′=13m+9.25m=22.25m．
答：（1）斜面与货物箱之间的动摩擦因数μ为0.5；
（2）两个货物箱在斜面上相撞的位置到C点的距离为0.48m； 
（3）从第一个货物箱放上传送带A端开始计时，在t₀=2s的时间内，货物箱在传送带上留下的痕迹长度为22.25m．

点评 对于牛顿第二定律的综合应用问题，关键是弄清楚物体的运动过程和受力情况，利用牛顿第二定律或运动学的计算公式求解加速度，再根据题目要求进行解答；知道加速度是联系静力学和运动学的桥梁．