Question

19．下暴雨时，有时会发生山体滑坡或泥石流等地质灾害．某地有一倾角为θ=37°（sn37°=0.6 cos37°=0.8）的山坡C，上面有一质量为2m的石板B，其上下表面与斜坡平行；B上有一碎石堆A（含有大量泥土），A和B均处于静止状态，如图所示．假设某次暴雨中，A浸透雨水后总质量为m（可视为质量不变的滑块），在极短时间内，A、B间的动摩擦因数μ₁减小为$\frac{3}{8}$，B、C间的动摩擦因数μ₂减小为0.5，A、B开始运动．已知A开始运动时，A离B下边缘的距离l=12m，C足够长．取重力加速度大小g=10m/s²．
求：
（1）A和B加速度的大小
（2）A在B上运动的时间．

Answer 1

分析 （1）对A、B受力分析，根据牛顿第二定律可以求出加速度的大小；
（2）根据A、B的加速度的大小，利用速度时间的关系式和它们之间的距离可以计算时间的大小．

解答 解：（1）对A和B分别进行受力分析，A和B的受力如图所示，

其中f₁、N₁是A与B之间的摩擦力和正压力的大小，f₂、N₂是B与C之间的摩擦力和正压力的大小，方向如图所示．
由滑动摩擦力公式和力的平衡条件得
f₁=μ₁N₁ ①
N₁=mgcosθ      ②
f₂=μ₂N₂ ③
N₂=N₁+2mgcosθ    ④
规定沿斜面向下为正，设A和B的加速度分别为a₁和a₂，
由牛顿第二定律得
mgsinθ-f₁=ma₁ ⑤
2mgsinθ+f₁-f₂=2ma₂ ⑥
联立①②③④⑤⑥式，并代入题给的条件得：a₁=3m/s²  a₂=1.5m/s²
（2）由运动学公式得：${s}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}^{2}$；${s}_{2}=\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$
由题意得：s₁-s₂=12
联立以上各式可得：t=4s
答：（1）A和B加速度的大小分别是3m/s²  和1.5m/s²；
（2）A在B上运动的时间是4s．

点评 本题是对牛顿第二定律和运动学公式的综合的应用，分析清楚物体的运动的情况和受力的情况，根据运动学的公式来求解，本题的难度比较大．