Question

3．如图所示，挡板P固定在足够高的水平桌面上，小物块A和B大小可忽略，它们分别带有+Q_A和+Q_B的电荷量，质量分别为m_A和m_B的两物块由绝缘的轻弹簧相连，一不可伸长的轻绳跨过滑轮，一端与B连接，另一端连接一轻质小钩．整个装置处于场强为E、方向水平向左的匀强电场中．最初，A、B均静止，轻质小钩上也未挂物块；已知弹簧的劲度系数为k，不计一切摩擦及A、B间的库仑力，A、B所带电荷量保持不变，B不会碰到滑轮．
（1）若在小钩上挂一质量为M的物块C并由静止释放，可使物块A恰好能离开（或叫恰好不能离开）挡板P，求物块C有静止开始下落的最大距离；
（2）若改为在小钩上挂一质量为2M的物块D并由静止释放，则当A刚离开挡板P时，B的速度多大？

Answer 1

分析 （1）初始状态弹簧处于压缩状态，形变量为 x₁，物块A对挡板P的压力恰为零，但不会离开P，此时A、B、C连同弹簧组成的系统共同瞬间静止，A所受电场力与弹簧的弹力大小相等，方向相反，可求弹簧的伸长量x₂，两者之和也就是C物体的下降距离．
（2）若C的质量改为2M，则当A刚离开挡板P时，弹簧的伸长量仍为x₂，但此时A物体静止但B、C两物体的速度相等且不为零，此过程中C物体重力势能减少量等于B物体机械能和电势能的增量、弹簧弹簧弹性势能增量及系统动能的增量之和．

解答 解：（1）开始时弹簧形变量为x₁，由平衡条件有：kx₁=EQ_B
得：x₁=$\frac{E{Q}_{B}}{k}$…①
设当A刚离开档板时弹簧的形变量为x₂，有：kx₂=EQ_A
得：x₂=$\frac{E{Q}_{A}}{k}$…②
故C下降的最大距离为：h=x₁+x₂ …③
由①～③式可解得：h=$\frac{E}{k}$（Q_A+Q_B）…④
（2）由能量守恒定律可知：C下落h过程中，C重力势能的减少量等于B的电势能的增量和弹簧弹性势能的增量以及系统动能的增量之和
当C的质量为M时：Mgh=Q_BE•h+△E_弹…⑤
当C的质量为2M时，设A刚离开挡板时B的速度为V，则有：2Mgh=Q_BEh+△E_弹+$\frac{1}{2}$（M+m_B）v²…⑥
由④～⑥式可解得A刚离开P时B的速度为：v=$\sqrt{\frac{2MgE（{Q}_{A}+{Q}_{B}）}{k（2M+{m}_{B}）}}$ 
答：（1）C下降的最大距离为为$\frac{E}{k}$（Q_A+Q_B）；
（2）A刚离开P时B的速度为为$\sqrt{\frac{2MgE（{Q}_{A}+{Q}_{B}）}{k（2M+{m}_{B}）}}$．

点评 本题过程较繁杂，涉及功能关系多，有弹性势能、电势能、重力势能等之间的转化，全面考察了学生综合分析问题能力和对功能关系的理解及应用，难度较大．对于这类题目在分析过程中，要化繁为简，即把复杂过程，分解为多个小过程分析，同时要正确分析受力情况，弄清系统运动状态以及功能关系．