Question

如图所示，光滑绝缘壁围成的正方形匀强磁场区域，边长为a磁场的方向垂直于正方形平面向里，磁感应强度的大小为B．有一个质量为m、电量为q的带正电的粒子，从下边界正中央的A孔垂直于下边界射入磁场中．设粒子与绝缘壁碰撞时无能量和电量损失，不计重力和碰撞时间．
（1）若粒子在磁场中运动的半径等于a/2，则粒子射入磁场的速度为多大？经多长时间粒子又从A孔射出？
（2）若粒子在磁场中运动的半径等于a/4，判断粒子能否再从A孔射出．如能，求出经多长时间粒子从A孔射出；如不能，说出理由．
（3）若粒子在磁场中运动的半径小于a且仍能从A孔垂直边界射出，粒子射入的速度应为多大？在磁场中的运动时问是多长？

Answer 1

分析：（1）若粒子在磁场中运动的半径等于a/2，则粒子粒子在磁场中运动4个

1

4

圆后从A点射出，所以可以知道粒子运动的半径，然后由洛伦兹力提供向心力去粒子的速度和运动的时间；
（2）若粒子在磁场中运动的半径等于a/4，则粒子在运动半个圆周后与绝缘壁碰撞然后做匀速直线运动，在另一侧与绝缘壁碰撞后做匀速圆周运动，两个半圆后做匀速直线运动…直到出来；
（3）给定的条件下的粒子的运动轨迹如图．代人公式即可讨论．

解答：解：带电粒子在磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力，得：qvB=

mv2

r

又：r=

a

2

整理得：v=

qBa

2m

由：T=

2π?r

v

得：T=

2πm

qB

粒子在磁场中运动4个

1

4

圆后从A点射出，所以：t=T=

2πm

qB

（2）能．粒子运动的轨迹如图，
由qvB=

mv2

r

，r=

a

4

得：v=

qBa

4m

t=

2a

v

+2

2πm

qB

=

8+4π

qB

m
（3）第一种情景：r1=

a 2

2n

=

mv1

qB

v1=

qBa

4nm

，其中n=1、2、3…
t1=

2a

v1

+2nT=

4n(2+π)m

qB

，其中n=1、2、3…
第二种情景：r2=

a 2

2n+1

=

mv2

qB

v2=

qBa

2(2n+1)m

，其中n=1、2、3…
t2=(4n+1)T=

2(4n+1)πm

qB

，其中n=1、2、3…
答：（1）若粒子在磁场中运动的半径等于a/2，则粒子射入磁场的速度为v=

qBa

2m

，经时间

2πm

qB

粒子又从A孔射出；
（2）若粒子在磁场中运动的半径等于a/4，粒子能再从A孔射出．经时间

8+4π

qB

m粒子从A孔射出；
（3）若粒子在磁场中运动的半径小于a且仍能从A孔垂直边界射出，粒子射入的速度以及在磁场中的运动时间有两种情况：
第一种情景：r1=

a 2

2n

=

mv1

qB

v1=

qBa

4nm

，其中n=1、2、3…
t1=

2a

v1

+2nT=

4n(2+π)m

qB

，其中n=1、2、3…
第二种情景：r2=

a 2

2n+1

=

mv2

qB

v2=

qBa

2(2n+1)m

，其中n=1、2、3…
t2=(4n+1)T=

2(4n+1)πm

qB

，其中n=1、2、3…

点评：在带电粒子在磁场中的运动中，正确画出粒子的运动轨迹是解题的关键．尤其是情景比较复杂的情况下，更是如此．题目的难度较大．