Question

19．假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为R，周期为T；地球的半径为R₀，自转周期为T₀．则地球表面赤道处的重力加速度大小与两极处重力加速度大小的比值为（　　）

• A． $\frac{{R_0^3{T^2}}}{{{R^3}T_0^2}}$
• B． $\frac{{{R^3}T_0^2}}{{R_0^3{T^2}}}$
• C． $1-\frac{{R_0^3{T^2}}}{{{R^3}T_0^2}}$
• D． $1-\frac{{{R^3}T_0^2}}{{R_0^3{T^2}}}$

Answer 1

分析 一颗人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，利用万有引力等于向心力列式可以求解地球的质量M；在两极处重力加速度大小：g=$\frac{GM}{{{R}_{0}}^{2}}$；考虑地球的自转，在赤道的重力加速度：g′=g-a=g-$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{R}_{0}$；最后联立求解得到比值．

解答 解：人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为R，周期为T，故：
$G\frac{Mm}{R^2}=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R$
解得：M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{3}}{G{T}^{2}}$…①
在南北两极，万有引力等于重力，故两极处重力加速度大小：g=$\frac{GM}{{{R}_{0}}^{2}}$…②
考虑地球的自转，在赤道的重力加速度：
g′=g-a=g-$\frac{4{π}^{2}}{{T}_{0}^{2}}{R}_{0}$…③
联立①②③解得：$\frac{g′}{g}$=$1-\frac{{R}_{0}^{3}{T}^{2}}{{R}^{3}{T}_{0}^{2}}$
故选：C

点评 本题关键是明确解题的思路，先利用人造地球卫星得到地球的质量，再结合牛顿第二定律列式，本题要考虑地球的自转，较难．