Question

7．如图，有一水平传送带，左、右端间的距离为10m，一物体从左边光滑斜面上h₁=4m处由静止释放滑上传送带的左端，已知θ=30°，物体与传送带间的动摩擦因数为0.1，当传送带静止时，物体恰能滑到右侧光滑斜面h₂高度处（弯道处的能量损失均不计），求：（结果可用根式表示，g取10m/s²）
（1）高度h₂为多少？
（2）当传送带以2m/s的速度匀速运动，物体第一次到达传送带右端的时间是多少？
（3）若传送带静止，该物体最终停在何处？物体运动的路程为多大？

Answer 1

分析 （1）对整个过程，运用动能定理列式，可求得高度h₂．
（2）先根据动能定理求出物体第一次滑上传送带时的速度．根据物体的速度与传送带速度的关系分析物体的运动情况，根据牛顿第二定律和运动学公式求运动时间．
（3）由于斜面是光滑的，所以该物体最终停在传送带上．对整个过程运用动能定理求得物体在传送带上运动的总路程，再分析物体最终停止的位置．

解答 解：（1）对整个过程，由动能定理得：
   mg（h₁-h₂）-μmgL=0
可得 h₂=h₁-μL=4-0.1×10=3（m）
（2）设物体第一次滑上传送带时的速度为v₀．
对物体在左侧斜面上下滑的过程，由动能定理得：
    mgh₁=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
可得 v₀=4$\sqrt{5}$m/s
假设传送带顺时针，物体在传送带减速至与传送带等速时通过的位移大小为x，则由动能定理得：
-μmgx=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
解得 x=38m＞L=10m
所以无论传送带顺时针还是逆时针传动，物体都做匀减速直线运动，因物体所受摩擦力不变，加速度不变，时间相等，都是t．
根据 L=v₀t-$\frac{1}{2}a{t}^{2}$
又 μmg=ma
联立解得  $t=（\frac{{24\sqrt{5}}}{5}-2\sqrt{15}）s$
（3）由于斜面是光滑的，所以该物体最终停在传送带上．设物体在传送带上运动的总路程为s．
对整个过程，由动能定理得：
 mgh₁=μmgs
解得 s=40m=4L
所以物体最后停在传送带最左端．
设物体第一次滑回左侧斜面时，在左侧斜面上滑行的路程为s₁，物体第二次滑上右侧斜面时，在右侧斜面上滑行的路程为s₂．
物体第二次滑回左侧斜面时，在左侧斜面上滑行的路程为s₃，物体第三次滑上右侧斜面时，在右侧斜面上滑行的路程为s₄．
对各段过程分别根据动能定理得：
   mgh₂-μmgL-mgsinθ•s₁=0
   mg（s₁-s₂）sinθ-μmgL=0
   mg（s₂-s₃）sinθ-μmgL=0
   mg（s₃-s₂）sinθ-μmgL=0
物体运动的路程为 s_总=$\frac{{h}_{1}+{h}_{2}}{sinθ}$+s+$\frac{{h}_{2}}{sinθ}$+2s₁+2s₂+2s₃+s₄．
联立解得 s_总=72m
答：
（1）高度h₂为3m．
 （2）无论传送带顺时针还是逆时针传动，运动时间都是（$\frac{24\sqrt{5}}{5}-2\sqrt{15}$）s．
（3）物体运动的路程为72m，最后停在传送带最左端．

点评 传送带问题，关键要根据物体的受力情况分析物体的运动过程．本题要多次运用动能定理列式，要研究力在空间上的效应时动能定理是常用的方法．