Question

当物体从高空下落时，所受阻力会随物体的速度增大而增大，因此经过下落一段距离后将匀速下落，这个速度称为此物体下落的收尾速度．研究发现，在相同环境条件下，球形物体的收尾速度仅与球的半径和质量有关．下表是某次研究的实验数据

小球编号	A	B	C	D	E
小球的半径（×10-3m）	0.5	0.5	1.5	2	2.5
小球的质量（×10-6kg）	2	5	45	40	100
小球的收尾速度（m/s）	16	40	40	20	32

（1）根据表中的数据，求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）根据表中的数据，归纳出球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系（写出有关表达式、并求出比例系数）．
（3）现将C号和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受阻力与单独下落时的规律相同．让它们同时从足够高的同一高度下落，试求出它们的收尾速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．

Answer 1

分析：（1）小球达到收尾速度时，小球做匀速直线运动，阻力与重力二力平衡．由平衡条件得即可求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的实验数据，归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系：v=

2m

r2

．
（3）将C号和D号小球用细线连接后，求出它们的收尾速度，判断下落的先后顺序．

解答：解：（1）球在达到终极速度时为平衡状态，有
        f=mg                                           ①
则　　　f_B：f_C=m_B：m_C                                  ②
代入数据得　　　　f_B：f_C=1：9                          ③
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比；即f∝v    ④
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r² ⑤
得　　　　　　　　　　f=kvr² ⑥
将E组数据代入解得   k=4.9Ns/m³                         ⑦
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
   m_Cg+m_Dg=f_C+f_D                                  ⑧
即　　　　m_Cg+m_Dg=kv（r_C²+r_D²）                               ⑨
代入数据得　　v=27.2m/s　                                      ⑩
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
答：（1）B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比为1：9．
（2）球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系k=4.9Ns/m³．
（3）将C号和D号小球用轻质细线连接，它们的收尾速度为27.2m/s，C球先落地．

点评：从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键，也是比较困难的．