Question

当物体从高空下落时，空气阻力会随物体的速度的增大而增大，因此下落一段距离后将以某个速度匀速下落，这个速度称为物体的下落终极速度．研究发现，在相同环境下，球形物体的终极速度仅与球的半径和质量有关．下面是某次研究的实验数据：（g取10m/S²）

小球编号	A	B	C	D	E
小球的半径（×10-3）	0.5	0.5	1.5	2	2.5
小球的质量（×10-6）	2	5	45	40	100
小球的终极速度（ m/s）	16	40	40	20	32

（1）根据表中的数据，求A球达到终极速度时所受的阻力；
（2）根据表中的数据，归纳出球形物体所受的空气阻力f与球的速度v及球的半径r之间的关系，要求写出表达式及比例系数k的数值．
（3）现将C号小球和D号小球用轻质细线连接，若它们在下落时所受的空气阻力与单独下落时的规律相同，让它们同时从足够高处下落，求它们的终极速度；并判断它们落地的顺序（不需要写出判断理由）．

Answer 1

分析：（1）小球达到收尾速度时，小球做匀速直线运动，阻力与重力二力平衡．由平衡条件得即可求出B球与C球在达到终极速度时所受阻力之比．
（2）由小球A、B、C、E的实验数据，归纳出小球收尾速度和小球质量、小球半径的定量关系．
（3）将C号和D号小球用细线连接后，求出它们的收尾速度，判断下落的先后顺序．

解答：解：（1）小球最终匀速下落时受力平衡：f_A=m_Ag=2×10^-5N；      
（2）由表中A、B球的有关数据可得，阻力与速度成正比，即f∝v    
由表中B、C球有关数据可得，阻力与球的半径的平方成正比，即f∝r²
得　　f=kvr²
将E组数据代入解得   k=4.9Ns/m³                           
（3）将C号和D号小球用细线连接后，其收尾速度应满足
   m_Cg+m_Dg=f_C+f_D                                  
即　　　　m_Cg+m_Dg=kv（r_C²+r_D²）                               
代入数据得　　v=27.2m/s　                                      
比较C号和D号小球的质量和半径，可判断C球先落地．
答：（1）根据表中的数据，求A球达到终极速度时所受的阻力为2×10^-5N．
（2）球型物体所受阻力f与球的速度大小及球的半径的关系k=4.9Ns/m³．
（3）将C号和D号小球用轻质细线连接，它们的收尾速度为27.2m/s，C球先落地．

点评：从表格数据归纳出收尾速度、质量、半径的定量关系是本题的关键，也是比较困难的．