Question

9．如图所示，在光滑的水平面上停放着一辆平板车C，在车上的左端放有一木块B，车左边紧邻一个固定在竖直平面内、半径为R的$\frac{1}{4}$圆弧形光滑轨道，已知轨道底端的切线水平，且高度与车表面相平．现有另一木块A（木块A、B均可视为质点）从圆弧轨道的顶端由静止释放，然后滑行到车上与B发生碰撞．两木块碰撞后立即粘在一起在平板车上滑行，并与固定在平板车上的水平轻质弹簧作用后被弹回，最后两木块刚好回到车的最左端与车保持相对静止．已知木块A的质量为m，木块B的质量为2m，小车C的质量为3m，重力加速度为g，设木块A、B碰撞的时间极短可以忽略．求：
（1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小．
（2）木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能．
（3）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能．

Answer 1

分析 （1）从A到B的过程，机械能守恒，在AB碰撞的时候，动量守恒，根据运动的过程可以求得共同的速度；
（2）根据碰撞前和碰撞后的能量来计算损失的能量的大小；
（3）当弹簧被压缩至最短时，弹簧的弹性势能最大，根据动量守恒求得此时的速度，根据能量的守恒求得最大的弹性势能．

解答 解：（1）设木块A到达圆弧底端时得速度为v₀，对木块A沿圆弧下滑得过程，根据机械能守恒定律，有：
mgR=$\frac{1}{2}$mv₀²
在A、B碰撞得过程中，两木块组成得系统动量守恒，设碰撞后的共同速度大小为v₁，选向右的方向为正，则：
mv₀=（m+2m）v₁，
解得：v₁=$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$，
（2）A、B在车上滑行的过程中，A、B及车组成的系统动量守恒． A、B滑到车的最左端时与车具有共同的速度，设此时速度大小为v，根据动量守恒定律，有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v，
A、B在车上滑行的整个过程中系统损失的机械能为：
△E=$\frac{1}{2}$（m+2m）v₁²-$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v²=$\frac{1}{6}$mgR，
（3）设当弹簧被压缩至最短时，木块与车有相同的速度v₂，弹簧具有最大的弹性势能E，根据动量守恒定律有：
（m+2m）v₁=（m+2m+3m）v₂，
所以有：v₂=v．
设木块与车面摩檫力为f，在车上滑行距离为L，由能量守恒，对于从 A、B一起运动到将弹簧压缩至最短的过程有：
$\frac{1}{2}$（m+2m）v₁²=$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v₂²+fL+E，
对于从弹簧被压缩至最短到木块滑到车的左端的过程有：
$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v₂²+E=$\frac{1}{2}$（m+2m+3m）v²+fL，
解得：E=$\frac{1}{12}$mgR．
答：（1）木块A、B碰撞后的瞬间两木块共同运动速度的大小为$\frac{1}{3}$$\sqrt{2gR}$；
（2）木块A、B在车上滑行的整个过程中，木块和车组成的系统损失的机械能为$\frac{1}{6}$mgR；
（3）弹簧在压缩过程中所具有的最大弹性势能为$\frac{1}{12}$mgR．

点评 从AB碰撞开始后的过程中，系统的动量守恒，在碰撞的时候，有能量的损失，对于不同的过程，根据动量守恒和能量守恒计算即可．