Question

4．为验证机械能守恒定律，同学们设计了如图甲所示的装置．装有自动测距仪的木板ABCD水平放置，木板EFGH竖直固定在ABCD上，O₁O₂为其上的一条竖直线，曲线MN为圆心在O₁处半径为L的四分之一圆周的圆弧，自O₁M起以10°圆心角为间隔画有刻线．O₁处钉有可悬挂细线的小钉，用轻质细线一端连接小球，另一端挂在小钉上，保持球心到O₁的距离为L．让细线与竖直方向成θ角由静止释放小球，当细线到达竖直方向时，有强激光束将线熔断．小球落到水平板上时，测距仪自动显示落点到0₂的距离 现测得O₁O₂=h，改变θ角释放小球，测得相关数据记录在表一中．

表一

θ/°	30	40	50	60	70	80	90
s/m	0.73	0.97	1.20	1.41	1.62	1.82	2.00

该同学作出s-θ图象，发现其关系较复杂，无法直观地看出是否满足机械能守恒定律． 于是从机械能守恒定律推导，发现s²与cosθ成线性关系．
（1）他导出的理论表达式为s²=s²=4（hL-L²）-4（hL-L²）cosθ；
（2）他将表一数据重新整理，得到表二中的数据，请在坐标纸中画出其图线．
表二：

θ/°	30	40	50	60	70	80	90
cosθ	0.87	0.77	0.64	0.50	0.34	0.17	0
s2/m2	0.53	0.94	1.44	1.99	2.62	3.31	4.00

Answer 1

分析 （1）根据机械能守恒定律求出小球摆到最低点的速度，结合平抛运动的高度求出平抛运动的时间，结合速度和时间求出水平位移，从而得出s²的表达式．
（2）结合表格中的数据描点作图．

解答 解：（1）根据机械能守恒定律有：$mgL（1-cosθ）=\frac{1}{2}m{v}^{2}$，解得v=$\sqrt{2gL（1-cosθ）}$，
根据$h-L=\frac{1}{2}g{t}^{2}$得，t=$\sqrt{\frac{2（h-L）}{g}}$，
则水平位移$s=vt=\sqrt{4L（h-L）（1-cosθ）}$．
则s²=4L（h-L）（1-cosθ）=4（hL-L²）-4（hL-L²）cosθ．
（2）根据表格中的数据描点作图，如图所示．
故答案为：（1）s²=4（hL-L²）-4（hL-L²）cosθ，（2）如图所示．

点评 本题考查了平抛运动的规律和机械能守恒得出s²-cosθ的表达式，通过s²-cosθ表达式可知，s²与cosθ成线性关系，所以作出的图线一定是线性图线，不能作成曲线．