Question

12．如图所示，质量为M、半径为r的半圆形凹槽，挨着竖直墙壁放在光滑的水平面上．一质量为m的光滑金属球自凹槽顶端静止滑下．重力加速度为g．求：
①金属球在运动过程中上升的最大高度；
②凹槽在以后运动过程中达到的最大速度．

Answer 1

分析 ①根据机械能守恒定律求出金属球滑到底端时的速度，球从最低点向上运动时，墙壁对系统没有弹力，M与m组成的系统在水平方向上动量守恒，当球运动到最大高度时，系统具有共同的速度，结合动量守恒定律和系统机械能守恒定律求出球上升的最大高度．
②系统的动量守恒，当金属球向右滑上凹槽后再返回到凹槽最低点时凹槽速度最大，根据动量守恒定律计算最大速度的大小即可．

解答 解：设金属球由静止开始下落至圆弧最低点时的速度为v，由机械能守恒定律知：
mgr=$\frac{1}{2}$mv₀²
解得：v₀=$\sqrt{2gr}$
金属球向上运动的过程中，m与M组成的系统在水平方向的动量守恒，选向右的方向为正，设v为小球滑互最高点时m与M的共同速度，根据动量守恒可得：
mv₀=（M+m）v
此过程中系统机械能守恒，即：$\frac{1}{2}$mv₀²=mgh+-$\frac{1}{2}$（M+m）v²
解得m上升的最大高度为：h=$\frac{Mr}{M+m}$
②当金属球向右滑上凹槽后再返回到凹槽最低点时凹槽速度最大，设金属球的速度为v₁，凹槽的速度为v₂，根据动量守恒可得：
mv₀=Mv₂+mv₁
根据机械能守恒有：$\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv₁²+$\frac{1}{2}$Mv₂²
联立解得：v₂=$\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gr}$
答：①金属球在运动过程中上升的最大高度为$\frac{Mr}{M+m}$；
②凹槽在以后运动过程中达到的最大速度为$\frac{2m}{M+m}\sqrt{2gr}$．

点评 本题主要考查了机械能守恒定律、动量守恒定律以及动量定理的直接应用，要求同学们能正确分析物体的受力情况和运动情况，选择合适的定理求解，难度适中．