Question

4．木星的卫星之一叫艾奥，它上面的珞珈火山喷出的岩块初速度为v₀时，上升的最大高度可达h．已知艾奥的半径为R，引力常量为G，忽略艾奥的自转及岩块运动过程中受到稀薄气体的阻力，求：
（1）艾奥表面的重力加速度大小g和艾奥的质量M；
（2）距艾奥表面高度为2R处的重力加速度大小g'；
（3）艾奥的第一宇宙速度v．

Answer 1

分析 （1）根据竖直上抛运动规律可求得表面的重力加速度，根据星球表面重力等于万有引力列式求解艾奥的质量；
（2）根据重力等于万有引力列式求解距艾奥表面高度为2R处的重力加速度大小；
（3）根据万有引力充当向心力，当卫星绕星球表面运行时的速度为第一宇宙速度，代入数据即可求解．

解答 解：（1）岩块做竖直上抛运动，有：$0-v_0^2=-2gh$，
解得：g=$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$；
忽略艾奥的自转有：$G\frac{Mm}{R^2}=mg$，
解得：M=$\frac{{{R^2}v_0^2}}{2hG}$；
（2）距艾奥表面高度为2R处有：$\frac{GMm'}{{{{（R+2R）}^2}}}=m'g'$，
解得：$g'=\frac{v_0^2}{18h}$；
（3）某卫星在艾奥表面绕其做圆周运动时：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：v=${v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$；
答：（1）艾奥表面的重力加速度大小g为$\frac{{v}_{0}^{2}}{2h}$，艾奥的质量M为$\frac{{{R^2}v_0^2}}{2hG}$；
（2）距艾奥表面高度为2R处的重力加速度大小g'为$\frac{v_0^2}{18h}$；
（3）艾奥的第一宇宙速度v为${v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$．

点评 本题考查万有引力定律的应用，要注意明确星球表面的物体万有引力充当重力；而绕星球表面运行的卫星万有引力充当向心力．