Question

12．如图所示，有一倾角α=37°的粗糙斜面，斜面所在空间存在一有界矩形匀强磁场区域GIJH，其宽度GI=HJ=L=0.5m．有一质量m=0.5Kg的“日”字形匀质导线框abcdef，从斜面上静止释放，释放时ef平行于GH且距GH为4L，导线框各段长 ab=cd=ef=ac=bd=ce=df=L=0.5m，线框与斜面间的动摩擦因数μ=0.25，ab、cd、ef三段的阻值相等、均为R=0.5Ω，其余电阻不计．已知ef边刚进入磁场时线框恰好做匀速运动，不计导线粗细，重力加速度g=10m/s²（sin37°=0.6，sin53°=0.8），求：
（1）ef边刚进入磁场时的速度v
（2）匀强磁场的磁感应强度B
（3）线框从开始运动到ab边穿出磁场过程中ab边发的焦耳热为多少？

Answer 1

分析 根据动能定理求出ef边刚进入磁场时的速度，由平衡条件列方程求出磁场强度；
当线框每条边切割磁感线时，等效电路都一样，即切割的边为电源，另外两条平行于GH的边并联，求出每条边切割磁感线的时间，然后由焦耳定律求出ab边发的焦耳热．

解答 解：（1）由动能定理有：
$mg4lsinα-μmgcosα4l=\frac{1}{2}m{v^2}-0$
代入数据得：v=4m/s
（2）当线框匀速运动时，对电路，有：E=BLv
R_总=R+$\frac{1}{2}R$=0.75，
$I=\frac{E}{R_总}$
对线框有：mgsinα=μmgcosα+BIL
代入数据解得：$B=\frac{{\sqrt{6}}}{2}$T
（3）当线框每条边切割磁感线时，等效电路都一样．线框受力也一样，所以ef和cd作为电源时有：
${U_{ab}}=\frac{{\frac{R}{2}}}{{R+\frac{R}{2}}}E$=$\frac{BLv}{3}$=$\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}×0.5×4}{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$V
时间为：$t=\frac{2l}{v}$，
得：${Q_1}=\frac{{{U_{ab}}^2}}{R}t$
当ab做电源时，有：$U{\;}_{ab}=\frac{R}{{R+\frac{R}{2}}}E$
时间为$t=\frac{l}{v}$，
所以${Q_2}=\frac{{{U_{ab}}^2}}{R}t$
整个过程总能量为：Q=Q₁+Q₂
联立以上解得：Q=1J
答：（1）ef边刚进入磁场时的速度v为4m/s；
（2）匀强磁场的磁感应强度B为$\frac{\sqrt{6}}{2}$T
（3）线框从开始运动到ab边穿出磁场过程中ab边发的焦耳热为1J．

点评 按顺序分析线框的受力情况，确定其运动情况以及等效电路是解决本题的关键点，同时要熟练推导出安培力与速度的关系．