Question

12．如图所示，长为L的光滑细杆AB，A端放在水平地面上，B端靠在竖直墙上，现让A沿水平面以速度v₀向右匀速运动．已知P点为杆的中点，杆AB与水平面的夹角为θ．关于P点的运动轨迹和P点的运动速度大小v的表达式正确的是（　　）

• A． P点的运动轨迹是一条直线
• B． P点的运动轨迹是圆的一部分
• C． P点的运动速度大小为v=v₀tanθ
• D． P点的运动速度大小为v=$\frac{{v}_{0}}{2sinθ}$

Answer 1

分析 设P点坐标为（x，y），则A、B点的坐标分别为（0，2x）、（0，2y），AB长度一定，设为L，列式求解出x与y的关系式，即为P点的轨迹方程；P点的轨迹是圆，速度是切线方向，画出轨迹图，结合几何关系得到P点速度方向与杆的方向的夹角，P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等．

解答 解：A、B、设P点坐标为（x，y），则A、B点的坐标分别为（2x，0）、（0，2y），AB长度一定，设为L，根据勾股定理，有：
（2x）²+（2y）²=L²
解得：
x²+y²=（$\frac{L}{2}$）²
故P点的运动轨迹是圆，半径为$\frac{L}{2}$；故A错误，B正确；
C、D、画出运动轨迹，如图：

速度v与杆的夹角α=90°-2θ；
由于杆子不可以伸长，故P点的速度沿着杆方向的分速度与A点速度沿着杆方向的分速度相等，故：
vcosα=v₀cosθ
vcos（90°-2θ）=v₀cosθ
解得：
v=$\frac{{v}_{0}}{2sinθ}$，故D正确，C错误；
故选：BD．

点评 本题关键是采用运动的合成与分解的方法进行研究，找出点P的运动方向是关键，同时掌握圆的方程．