Question

6．如图所示，长为L的轻绳上端系于A点，在轻绳的下端吊一个质量为m的铁球（可视作质点），A点离地面的高度为2L、离墙壁的距离为L，A点的正下方P点处有一固定铁钉．现将球拉至与A等高的位置（轻绳处于水平拉直状态）释放．当地的重力加速度为g，不计空气阻力．
（1）若已知小球摆至最低点，轻绳被铁钉挡住前瞬间，绳子的拉力大小为3mg，则小球此时的速度为多大？
（2）若轻绳能承受的最大拉力为9mg，轻绳被挡住后瞬间恰好被拉断，则铁钉离A点的距离为多少？
（3）轻绳断裂后，小球在以后的运动过程中第一次碰撞点离墙角B点的距离是多少？

Answer 1

分析 （1）根据向心力公式求出小球到达最低点时的速度；
（2）根据向心力公式求出小球到钉子的距离，即可求出铁钉离A点的距离；
（3）根据平抛运动的规律求出小球的下落高度，即可求出第一次碰撞点离墙角B点的距离

解答 解：（1）小球摆至最低点，轻绳被铁钉挡住前瞬间，设速度为v
根据向心力公式，有：$F-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
代入数值：$3mg-mg=m\frac{{v}_{\;}^{2}}{L}$
解得：$v=\sqrt{2gL}$
（2）小球被钉子挡住后瞬间，根据牛顿第二定律和圆周运动的向心力公式，有：
F′-mg=$m\frac{{v}_{\;}^{2}}{r′}$
代入数据：$9mg-mg=m\frac{2gL}{r′}$
解得：$r′=\frac{L}{4}$
铁钉离A点的距离为$L-r′=L-\frac{L}{4}=\frac{3}{4}L$
（3）细绳断裂后，小球做平抛运动．假设小球直接落到地面上，则：
h=L=$\frac{1}{2}$gt²　
球的水平位移x=vt=2L＞L
故实际上小球应先碰到右墙，则L=vt'
小球下落的高度h'=$\frac{1}{2}$gt'²=$\frac{1}{4}L$
所以球的第一次碰撞点距墙角B点的距离为：H=L-h′=$\frac{3}{4}L$　
答：（1）若已知小球摆至最低点，轻绳被铁钉挡住前瞬间，绳子的拉力大小为3mg，则小球此时的速度为$\sqrt{2gL}$
（2）若轻绳能承受的最大拉力为9mg，轻绳被挡住后瞬间恰好被拉断，则铁钉离A点的距离为$\frac{3}{4}L$
（3）轻绳断裂后，小球在以后的运动过程中第一次碰撞点离墙角B点的距离是$\frac{3}{4}L$

点评 本题考查了平抛运动和圆周运动的综合，知道平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律和圆周运动向心力的来源是解决本题的关键．