Question

20．拉格朗日点是指在两个大物体的引力作用下，能使小物体稳定的点，它是由法国数学家拉格朗日推算得出的，如图所示，在地球和月球的连线上有拉格朗日点L₁，处在该点的物体在地球和月球引力的共同作用下，可与月球一起以相同的周期绕地球运动，已知地心到L₁的距离为月到L₁的距离的k倍，则地球质量与月球质量之比为（提示：物体对月球的引力可忽略不计）（　　）

• A． $\frac{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}{{（k+1）}^{3}-{k}^{3}}$
• B． $\frac{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}{{{k}^{3}-（k+1）}^{3}}$
• C． $\frac{{{（k+1）}^{3}-k}^{3}}{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}$
• D． $\frac{{{（k+1）}^{3}+k}^{3}}{{{k}^{2}（k+1）}^{3}}$

Answer 1

分析 物体受到地球和月球引力的合力提供向心力，月球受到地球的万有引力提供向心力，周期相同，两个向心力方程相比即可求解；

解答 解：设位于拉格朗日点的物体质量为m，地球质量为${M}_{地}^{\;}$，月球质量为${m}_{月}^{\;}$
物体到月球的距离为x，则物体到地心的距离为kx，月球到地心距离为（kx+x）
对物体：$G\frac{{M}_{地}^{\;}m}{（kx）_{\;}^{2}}-G\frac{{m}_{月}^{\;}m}{{x}_{\;}^{2}}=m\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（kx）$①
对月球：$G\frac{{M}_{地}^{\;}{m}_{月}^{\;}}{（kx+x）_{\;}^{2}}={m}_{月}^{\;}\frac{4{π}_{\;}^{2}}{{T}_{\;}^{2}}（kx+x）$②
联立①②得：$\frac{{M}_{地}^{\;}}{{m}_{月}^{\;}}=\frac{{k}_{\;}^{2}（k+1）_{\;}^{3}}{（k+1）_{\;}^{3}-{k}_{\;}^{3}}$，故A正确，BCD错误；
故选：A

点评 本题是一道创新题，有一定的难度，关键是搞清月球和位于拉格朗日点的物体做匀速圆周运动的向心力来源，知道它们的周期相等，选择含有周期的向心力公式求解．