Question

【题目】如图,倾斜轨道AB和光滑轨道BC固定在同一竖直平面内,两者间通过一小段长度不计的光滑弧形轨道相连,已知AB长L=7.80m,倾角θ=37°,BC弧的半径R=0.8m,O为圆心,∠BOC=143°,两个体积相同的小球P与Q、P球的质量mp=0.4kg;带正电的Q球静止于A点,质量mQ未知。其电荷量为q,整个装置处于水平向左的匀强电场中,场强天小E=3mQg/4q。不带电的小球P从某一位置以v0=8m/s的初速度水平抛出,运动到A点时速度恰好沿斜面向下与小球Q发生弹性正碰,且碰撞过程中无电荷转移。碰后Q球第一次通过过C点后落到斜面上的D点(未画出),BD=2.88m。若Q、P与轨道AB的动摩擦因数分别为μ1=0.2，μ2=0.8。小球Q运动过程中电荷量保持不变。sin37°=0.6，cos37°=0.8，g=10m/s2)。求：

（1）小球P的抛出点距A点的高度；

（2）小球Q运动到弧轨道最低点B时对轨道的压力是其重力的多少倍；
（3）小球Q的质量mQ。

Answer 1

【答案】（1）1.8m（2） （3）0.4kg

【解析】

小球P抛出后做平抛运动，到达A点时速度沿斜面向下，由速度分解法求出小球P到达A点时竖直分速度，即可由运动学公式求出小球P的抛出点距A点的高度；两球发生弹性正碰，由动量守恒定律和机械能守恒定律结合求出碰后两球的速度。碰后小球Q获得速度，将电场力和重力的合力看成等效重力，由动能定理求出小球Q到圆弧轨道最低点B点时的速度，由牛顿运动定律求Q对轨道的压力。

(1) 设小球P刚运动到A点时的速度为，竖直分速度为，

则有：

所以小球P的抛出点距离A点的高度；

(2) 设小球Q运动到C 点时的速度为，过了C点之后小球Q受到电场力和重力的合力为

，且方向刚好沿着OC，由题中几何关系可知OC垂直于AB，所以，小球Q过了C点之后将做类平抛运动，运动的加速度

沿着OC的方向上：

沿着垂直于OC的方向上：

可以解出

小球Q从B运动到C的过程，利用动能定理

其国

解得：

对小球Q在B点，由牛顿第二定律

根据牛顿第三定律，小球Q运动到圆弧轨道最低点B时对轨道的压力跟轨道对它的支持力大小相等，是其重力的倍；

(3) 假设小球Q在A点被撞后的瞬间，速度为，对于小球Q从A点运动到B点的过程，由动能定理

解得：

假设碰后P球的速度为 ，碰前P球的速度为

由于是弹性碰撞

带入数据解得：，。