Question

16．一宇航员在月球上以速率v₀竖直上抛一物体，物体上升的最大高度为h，已知月球半径为R，自转周期为T，引力常量为G，则下列计算式正确的是（　　）

• A． 月球绕地球运动的向心加速度a=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R
• B． 月球的质量M=$\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$
• C． 月球的第一宇宙速度v₁=v₀$\sqrt{\frac{R}{2h}}$
• D． 月球同步卫星的高度h₀=$\root{3}{\frac{{v}_{0}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}h}}$

Answer 1

分析 根据速度位移公式求出月球表面的重力加速度，根据万有引力等于重力求出月球的质量．根据万有引力提供向心力求出月球的第一宇宙速度．结合月球的自转周期，得出同步卫星的周期，根据万有引力提供向心力，求出同步卫星离地的高度．

解答 解：A、由于月球的轨道半径、周期均未知，无法求出月球绕地球做圆周运动的向心加速度，故A错误．
B、月球表面的重力加速度g=$\frac{{{v}_{0}}^{2}}{2h}$，根据$\frac{GMm}{{R}^{2}}=mg$得，月球的质量M=$\frac{g{R}^{2}}{G}$=$\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}}{2Gh}$，故B正确．
C、根据mg=$m\frac{{v}^{2}}{R}$得，月球的第一宇宙速度v=$\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{{{v}_{0}}^{2}R}{2h}}={v}_{0}\sqrt{\frac{R}{2h}}$，故C正确．
D、根据$G\frac{Mm}{（R+{h}_{0}）^{2}}=m（R+{h}_{0}）\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$得，又GM=gR²，解得月球同步卫星的高度${h}_{0}=\root{3}{\frac{{{v}_{0}}^{2}{R}^{2}{T}^{2}}{8{π}^{2}}}-R$，故D错误．
故选：BC．

点评 解决本题的关键掌握万有引力定律的两个重要理论：1、万有引力等于重力，2、万有引力提供向心力，并能灵活运用．