Question

（2013?南开区二模）2007年10月24日，我国成功地发射了“嫦娥一号”探月卫星．卫星进入地球轨道后还需要对卫星进行10次点火控制．前4次点火，让卫星不断变轨加速，当卫星加速到v_o=11.0km/s的速度时进入地月转移轨道向月球飞去．后6次点火的主要作用是修正飞行方向和被月球捕获时的紧急刹车，最终把卫星送入离月面h=200km高的工作轨道（可视为匀速圆周运动）．已知地球质量是月球质量的81倍，R_月=1800km，R_地=6400km，卫星质量为2350kg，地球表面重力加速度g=10m/s²，引力恒量G=6.67×10^-11N?m²/kg²．（结果保留一位有效数字）求：
（1）地球的质量．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面h=200km的工作轨道上外力对它做了多少功？（忽略地球自转及月球绕地球公转的影响）

Answer 1

分析：1、根据地球表面的物体受到的重力等于万有引力G

Mm

R地2

=mg，代入数据可计算出地球的质量．
2、先根据万有引力提供向心力G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

(R月+h)

，计算出卫星的线速度，再根据动能定理W=

1

2

mv2-

1

2

mv02，计算地球对它做的功．

解答：解：（1）由地球表面的物体受到的重力等于万有引力G

Mm

R地2

=mg
可得M=

R地2g

G

=

(6400×103)2×10

6.67×10-11

kg=6×10²⁴kg
（2）设卫星离月面200km速度为v，由牛顿第二定律得：
G

M月m

(R月+h)2

=m

v2

(R月+h)

及

M月

M地

=

1

81

解得v=

GM月 R月+h

=

GM地 81(R月+h)

对卫星由动能定理：W=

1

2

mv2-

1

2

mv02
综合以上各式，解得W=

1

2

m

GM地

81(R月+h)

-

1

2

mv02=

1

2

×2350×

6.67×10-11×6×1024

81×(1800+200)×103

-

1

2

×2350×11²=-1×10¹¹J
答：（1）地球的质量为6×10²⁴kg．
（2）卫星从离开地球轨道进入地月转移轨道最终稳定在离月球表面h=200km的工作轨道上外力对它做了-1×10¹¹J的功．

点评：地球表面的物体受到的重力等于万有引力；万有引力提供向心力，这两个关系对于解决天体问题非常重要．