Question

13．一足够大的倾角为45°的斜面上有一点O，O点正上方h=1.6m处有一点P．在P点以恒定的水平速度v₀抛出一个小球，随着抛出方向的不同，小球将落到斜面上不同的位置．已知小球落到斜面上的位置距离O点的最小值为s₁，最大值为s₂，$\frac{s_1}{s_2}=\frac{1}{2}$，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s²．试求小球抛出时的水平初速度v₀的大小．

Answer 1

分析 当初速度正对斜面上方抛出时，落点A离O最近，当初速度正对斜面下方水平抛出时，落点B离O最远，结合平抛运动在水平方向和竖直方向上的运动规律，根据运动学公式和几何关系进行求解．

解答 解：如图，当初速度正对斜面上方抛出时，落点A离O最近，根据平抛运动的规律有：
x₁=v₀t₁，
$h-{x}_{1}tan45°=\frac{1}{2}g{{t}_{1}}^{2}$，
当初速度正对斜面下方水平抛出时，落点B离O最远，有：
x₂=v₀t₂，
$h+{x}_{2}tan45°=\frac{1}{2}g{{t}_{2}}^{2}$，
由几何关系得，$\frac{{s}_{1}}{{s}_{2}}=\frac{\sqrt{2}{x}_{1}}{\sqrt{2}{x}_{2}}=\frac{1}{2}$，
联立解得${v}_{0}=\frac{1}{2}\sqrt{gh}$=$\frac{1}{2}\sqrt{10×1.6}$m/s=2m/s．
答：小球抛出时的水平初速度v₀的大小为2m/s．

点评 解决本题的关键确定如何抛出小球落到斜面上的位置距离O点的最远和最近，结合水平方向和竖直方向上的运动规律，抓住几何关系，运用运动学公式灵活求解，难度中等．