Question

9．如图，倾角θ=37°的足够长的斜面上，有一质量M=1.0kg，长度L=2.55m的薄板A，其上表面以ab为分界线由两种不同材料拼接而成，其中ab以上部分光滑，长度为L₁=0.75，下表面与斜面间的动摩擦因数μ₁=0.40．在薄板A的上表面左端放一质量m=1.0kg的小物块B（可视为质点），同时将A，B由静止释放．已知B与A的上表面ab以下部分的动摩擦因数μ₂=0.25，认为滑动摩擦力与最大静摩擦力大小相等．（sin37=0.6，g=10m/s²）求：
（1）B滑动到ab时的速度；
（2）B在A上滑动的时间．

Answer 1

分析 （1）同时释放AB时，先要判断A的运动状态，由于Mgsin37°＜μ₁（M+m）gcos37°，所以A在B滑过ab线之前时保持静止，根据牛顿第二定律和运动学公式就能求出A到达ab线时的速度．
（2）根据牛顿第二定律和运动学公式分别求出B在A的上部分和下部分运动时间，再求总时间，这其中要注意的是两者的位移之差等于ab到B下端的距离．

解答 解：（1）刚释放B时，对长木板A，由于有Mgsin37°＜μ₁（M+m）gcos37°，所以A向下加速时B静止在斜面上．
  对B：由牛顿第二定律有mgsin37°=ma₂  代入得到：${a}_{2}=gsin37°=6m/{s}^{2}$．
  所以B到达ab时的速度满足：${{v}_{2}}^{2}=2{a}_{2}{L}_{1}$  代入得到：v₂=3m/s
（2）当B滑过ab线时，由于A受到B的摩擦力将开始向下加速运动，由牛顿第二定律有：
  对B，mgsin37°-μ₂mgcos37°=ma₂′代入得到：${a}_{2}′=4m/{s}^{2}$
  对A，Mgsin37°+μ₂mgcos37°-μ₁（M+m）gcos37°=Ma₁′代入得到：a₁′=1.6m/s
  设经过时间t物块A滑过木板B，则两者位移之差  x₂-x₁=L-L₁
  而x₂=${v}_{2}t+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}^{2}$，x₁=$\frac{1}{2}{a}_{1}{′}^{2}$  将此代入上式可得：t=0.77s，另解已舍去．
  所以B在A上滑离的时间为${t}_{总}=t+\frac{{v}_{2}}{{a}_{2}}$=1.27s．
答：（1）B滑动到ab时的速度为3m/s．
（2）B在A上滑动的时间为1.27s．

点评 本题的关键点是要判别出AB的运动状态，B在ab线上时，由于A受到重力沿斜面向下的分量小于其受到斜面向上的最大静摩擦力，所以刚开始A是保持静止不动．；但B滑过ab之后，要用隔离法分别求出AB的加速度，再根据运动学公式求出A滑过B下端的时间．