Question

如图甲所示，M、N为竖直放置的两块平行金属板，圆形虚线为与N相连且接地的圆形金属网罩。PQ为与圆形网罩同心的金属收集屏，通过阻值为r₀的电阻与大地相连。小孔s₁、s₂、圆心O与PQ中点位于同一水平线上。圆心角2θ=120°、半径为R的网罩内有大小为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场。M、N间相距且接有如图乙所示的随时间t变化的电压，（0tT），（t >T）（式中，T已知），质量为m、电荷量为e的质子连续不断地经s₁进入M、N间的电场，接着通过s₂进入磁场。（质子通过M、N的过程中，板间电场可视为恒定，质子在s₁处的速度可视为零，质子的重力及质子间相互作用均不计。）

（1）质子在哪些时间段内自s₁处进入板间，穿出磁场后均能打到收集屏PQ上？

（2）质子从进入s₁到穿出金属网罩经历的时间记为，写出与U_MN之间的函数关系（tanx=a 可表示为x=arctana）

（3）若毎秒钟进入s₁的质子数为n，则收集屏PQ电势稳定后的发热功率为多少？

 

Answer 1

解：

（1）质子在板间运动，根据动能定理，有

                  （1分）

   质子在磁场中运动，根据牛顿第二定律，有  

                                      （1分）

若质子能打在收集屏上，轨道半径与半径应满足的关系：      （1分） 

解得板间电压                                      （1分） 

结合图象可知：质子在t和tT之间任一时刻从s₁处进入电场，均能打到

收集屏上                                                        （2分）                                                                    

（2）M、N间的电压越小，质子穿出电场进入磁场时的速度越小，质子在极板间经历的时间越长，同时在磁场中运动轨迹的半径越小，在磁场中运动的时间也会越长，设在磁场中质子运动所对应的圆半径为r,运动圆弧所对应的圆心角为，射出电场的速度为v₀,质子穿出金属网罩时，对应总时间为t，则

  在板间电场中运动时间     （2分）

                              （1分）

在磁场中运动时间                                    （1分）

所以，运动总时间＝+                        （1分）

在磁场中运动时间（1分）   

所以，运动总时间＝          （2分）

（3）稳定时, 收集屏上电荷不再增加，即在t>T 时刻以后，此时，，收集屏与地面电势差恒为U，U=Ir₀  

     单位时间到达收集板的质子数n

单位时间内，质子的总能量为                 （2分）

单位时间内屏上发热功率为                                 （2分）

消耗在电阻上的功率为                                       （2分）

所以收集板发热功率              （2分）